命題とは
命題とは正しいか正しくないかが明確に決まる式や文のことである。
例)
(1)x=2ならばx^2=4である。
(2)自然数nが2の倍数ならば、nは6の倍数である。
命題が正しい時は”真である”と言い、命題が間違っている時は”偽である”と言う。
命題が偽である時、命題が成り立たない反例が必ず存在する。
例の場合、(1)は真であるが(2)は偽である。
(2)の反例はn=4である。
4は2の倍数ではあるが、6の倍数ではないことが分かる。
必要条件と十分条件
命題を構成するのは条件である。
前章の例(1)で言うと、x=2とx^4が条件となる。
それぞれの条件をp,qとすると命題は
$$p \Rightarrow q$$
と書くことができる。
この時、qはpの必要条件と呼び、
また、pはqの十分条件と呼ぶ。
また、$$q \Rightarrow p$$
も同時に成り立つ時は
$$p \Leftrightarrow q$$
と書けてpとqの条件の事を必要樹文条件と呼ぶ。
条件の否定
条件pに対してその条件が成り立たない事を”pの否定”と呼び$$\overline{p}$$と書ける。
例）
$$p:x=2$$
$$\overline{p}:x\neq2$$
逆・裏・対偶
ある命題
$$p \Rightarrow q$$
に対して
$$q \Rightarrow p$$を逆、
$$\overline{p} \Rightarrow \overline{q}$$を裏、
$$\overline{q} \Rightarrow \overline{p}$$を対偶と呼ぶ。
命題$$p \Rightarrow q$$が真だからといってその命題の逆や裏が真であるとは限らない。
また、対偶の真偽は元の命題の真偽と等しい。
