問題
問1
以下の二次方程式を解け。
$$2x^2+3x-20=0$$
問2
以下の二次方程式を解け。
$$x^2+2\sqrt{2}x-3=0$$
問3
以下の方程式の実数解を求めよ。
$$2x^2-3x+2=0$$
問4
以下の方程式が重解(解が一つ)を持つ時のmを求めよ。
$$x^2+mx+m+3=0$$
問5
以下の方程式の解が-1,2の時のa,bを求めよ。
$$x^2+\left(a-b\right)x+b=0$$
問6
以下の放物線はx軸との共有点を持たないことを示せ。
$$y=x^2+2mx+\left(m^2+1\right)$$
問7
以下の2つの関数の共有点を求めよ。
\begin{eqnarray}
y&=&-2x^2\\
y&=&4x-k\\
(kは定数)
\end{eqnarray}
【二次方程式の解説はこちら】
解答
問1の解答 因数分解をする
方程式の左辺を因数分解する。
因数分解すると方程式は以下になる。
$$\left(2x-5\right)\left(x+4\right)=0$$
よって、方程式の解は以下になる。
$$x=\frac{5}{2},-4$$
問2の解答 解の公式を使う
方程式を因数分解するのは難しいので解の公式を使う。
解の公式を用いると以下になる。
\begin{eqnarray}
x&=&\frac{-2\sqrt{2}\pm\sqrt{\left(-2\sqrt{2}\right)^2-4\left(-3\right)}}{2}\\
&=& -\sqrt{2}\pm\sqrt{5}
\end{eqnarray}
【解の公式はこちら】
問3の解答 判別式Dを使う
実数解の個数を求めるために判別式Dを計算する。
判別式Dは以下になる。
\begin{eqnarray}
D&=&\left(-3\right)^2-4・2・2\\
&=& -7<0
\end{eqnarray}
判別式は負であるので方程式の個数はなしである。
問4の解答 判別式D=0の時のmを求める
方程式の解が重解を持つ時は方程式の判別式D=0の時である。
最初に判別式Dを計算する。
\begin{eqnarray}
D&=& m^2-4\left(m+3\right)\\
&=&m^2-4m-12\\
&=&\left(m+2\right)\left(m-6\right)\tag{式4.1}
\end{eqnarray}
ここで方程式が重解を持つ時は式4.1が0の時なので、以下のmについての方程式の解を求めればよい。
\begin{eqnarray}
\left(m+2\right)\left(m-6\right)=0\\
m=-2,6
\end{eqnarray}
よって、方程式はm=-2,6の時に重解を持つ。
問5の解答 分かっている解から因数分解をする
方程式は解は-1と2である。
よって、方程式は以下の様に因数分解することができる。
\begin{eqnarray}
x^2\left(a-b\right)+b&=&\left(x+1\right)\left(x-2\right)\\
&=& x^2-x-2\tag{式5.1}
\end{eqnarray}
次に式5.1から以下のようにa,bについての連立方程式を立てることができる。
\begin{eqnarray}
a-b&=&-1\\
b&=&-2
\end{eqnarray}
この連立方程式を解くとa,bは以下になる。
\begin{eqnarray}
a&=&-3\\
b&=&-2
\end{eqnarray}
よって、a,bを求めることができた。
問6の解答 mに依らず判別式D=0を示す
放物線がx軸と共有点を持たない時は、放物線が0になる時の方程式の判別式Dが負になる時である。
更にどんなmの値を取っても判別式は負になることを示す必要がある。
よって以下の方程式の判別式Dを考える。
$$x^2+2mx+\left(m^2+1\right)=0$$
方程式の判別式Dは以下になる。
\begin{eqnarray}
D&=&\left(2m\right)^2-4\left(m^2+1\right)\\
&=&-4<0
\end{eqnarray}
よって、方程式の判別式がmに依らず負になることを示すことができたので、放物線とx軸はmに依らず常に共有点を持たない(交わらない)事が示せた。
問7の解答 2つの方程式から求めた二次方程式の判別式Dの場合分け
2つの方程式の共有点を求める時は、2つの関数が同じ値を取るときを考える。
よって、以下の関係を考える。
$$-2x^2=4x-k$$
更に、この関係式を二次方程式の形に直すと以下になる。
$$2x^2+4x-k=0\tag{式7.1}$$
式7.1は2つの方程式が等しくなるという関係から導き出された。
よって、式7.1の判別式Dを考えることで2つの方程式の共有点(2つの方程式が交わる点)の数を求めることができる。
式7.1の判別式Dを求めると以下の様になる。
\begin{eqnarray}
D&=&4^2+4・2\left(-k\right)\\
&=&16+8k
\end{eqnarray}
ここで、判別式Dの値は定数kの値によって変化することが分かる。
よって、定数kの値による場合分けをする。
判別式Dは正となる。
$$D>0$$
よって、2つの方程式の共有点は2個である。
判別式Dは0となる。
$$D=0$$
よって、2つの方程式の共有点は1個(重解)である。
判別式Dは負となる。
$$D<0$$
よって2つの方程式の共有点はない。
