極座標表示とは
2次元の極座標表示とは、原点からの距離\(r\)と、原点と位置を結んだ線と\(x\)軸とのなす角度\(\theta\)で表した座標系のこと。
\(x,y\)で表すデカルト座標系が一般的である。
デカルト座標→極座標への変換の方法
2次元でのデカルト座標系から極座標系への変換について説明する。
図のように\(xy\)平面上のある点を\(P\)とする。
このとき、点\(P\)はデカルト座標系において\((x,y)\)と表すことができる。
つぎに、\(r,\theta\)を以下のように定義する。
- 原点\(O\)から点\(P\)までの距離を\(r\)とする。
- 線分\(OP\)と\(x\)軸のなす角度を\(\theta\)とする。
このとき、\((x,y)\)と\((r,\theta)\)の関係を考える。
点\(P\)から\(x\)軸に下ろした垂線と\(x\)軸との交点を\(Q\)とする。
ここで、三角形\(OPQ\)に注目する。
三平方の定理より、三角関数を用いると\((x,y)\)と\((r,\theta)\)の関係は以下になる。
\(x=r\cos\theta\)
\(y=r\sin\theta\)
このように、デカルト座標系から極座標系へと変換することができる。
極座標での積分
極座標での積分について説明する。
2変数\(r,\theta\)の積分について考える。
まず、デカルト座標系での積分を考える。
微小面積\(dS\)は\(dx,dy\)を使って以下のように表せる。
\(dS=dxdy\)
微小面積\(dS\)は辺が\(dx\)と\(dy\)からなる長方形であるので、以上のような関係になる。
この微小面積\(dS=dxdy\)を元にして、積分を行うと以下のように表せる。
\(\int f(x,y)dxdy\)
次に、極座標系での積分を考える。
極座標系での微小面積\(dS\)は図のような形になる。
このときの\(dr,d\theta\)は非常に小さいので、微小面積\(dS\)を長方形とみなすことができる。
微小面積\(dS\)を長方形とすると、辺の長さは\(dr\),\(rd\theta\)となる。
よって、微小面積\(dS\)は\(r,\theta\)を使って以下のように表せる。
\(dS=rdrd\theta\)
この微小面積\(dS\)を元にして、積分を行うと以下のように表せる。
\(\int f(r,\theta)rdrd\theta\)
このとき、デカルト座標系での\(f(x,y)\)という表し方から、極座標系での\(f(r,\theta)\)という表し方に変換していることに注意する。
