問題
\(a\)は\(0< a <\frac{\pi}{2}\)を満たす定数とする。\(0\leqq x\leqq \pi\)の範囲において、曲線\(y=a\sin(x)\)と曲線\(y=\frac{2}{3}x\sin(x)\)とで囲まれる2つの部分の面積が等しくなるように、\(a\)の値を求めよ。
解答
初めに2つの曲線を以下のような関数とする。
\begin{eqnarray}
f(x)=a\sin(x)\\
g(x)=\frac{2}{3}x\sin(x)
\end{eqnarray}
このとき、\(f(x)\)と\(g(x)\)の大小関係を考える。
2つの関数の三角関数部分はどちらも\(\sin(x)\)であり、振動数が等しい。
よって、三角関数の振幅の大小関係によって関数、\(f(x)\)と\(g(x)\)の大小関係が決まる。
つまり、\begin{eqnarray}
a >\frac{2}{3}x→f(x)> g(x)\\
a< \frac{2}{3}x→f(x)< g(x)
\end{eqnarray}
という不等式が成立する。
また、\(f(x)\)と\(g(x)\)の交点の\(x\)座標は、
\begin{eqnarray}
f(x)=g(x)\\
a\sin(x)=\frac{2}{3}x\sin(x)\\
x=\frac{3}{2}a
\end{eqnarray}
となる。
よって、2つの関数\(f(x)\)と\(g(x)\)に囲まれる範囲の面積は以下のように表せる。
\begin{eqnarray}
\int_{0}^{\frac{3}{2}a}(f(x)-g(x))dx\\
\int_{\frac{3}{2}a}^{\pi}(g(x)-f(x))dx
\end{eqnarray}
この2つの範囲の面積が等しいときの\(a\)の値を求めるので、以下の等式が成立する。
\begin{eqnarray}
\int_{0}^{\frac{3}{2}a}(f(x)-g(x))dx=\int_{\frac{3}{2}a}^{\pi}(g(x)-f(x))dx\\
\int_{0}^{\frac{3}{2}a}(f(x)-g(x))dx+\int_{\frac{3}{2}a}^{\pi}(f(x)-g(x))dx=0\\
\int_{0}^{\pi}(f(x)-g(x))dx=0
\end{eqnarray}
ここで積分を計算すると、
\begin{eqnarray}
\int_{0}^{\pi}(f(x)-g(x))dx=\int_{0}^{\pi}(a\sin(x)-\frac{2}{3}x\sin(x))dx\\
=\int_{\pi}^{0}(a-\frac{2}{3}x)\sin(x)dx\\
=\left[-(a-\frac{2}{3}x\cos(x))\right]_{0}^{\pi}+\int_{0}^{\pi}(-\frac{2}{3})\cos(x)dx\\
=(a-\frac{2}{3}\pi+a)-\frac{2}{3}\left[\sin(x)\right]_{0}^{\pi}\\
=2a-\frac{2}{3}\pi=0
\end{eqnarray}
よって、\(a\)の値は以下となる。
\begin{eqnarray}
a=\frac{\pi}{3}
\end{eqnarray}
