二次関数

二次関数の表示方法と平方完成

最も基本的な関数である二次関数。
二次関数を理解できれば、2次方程式などにも応用することができる。

本記事では、二次関数について説明する。

二次関数とは

二次関数とは\(x\)の最大次数が\(2\)である関数のことを言う。

例)
\begin{eqnarray}
f(x)=ax^2+bx+c\\
\\
g(x)=\alpha\left(x-\beta\right)^2+\gamma
\end{eqnarray}

また、\(x\)の最大次数が\(n\)である関数のことを\(n\)次関数と言う。

最も基本的な二次関数は\(f1(x)=x^2\)である。(図1.1)

このとき、\(f1(x)\)は\(x=0\)で最小値\(f1(x=0)=0\)を取る。
このときの座標\((0,0)\)を頂点と呼ぶ。

次に、\(f1(x)\)を\(x\)方向に\(\beta\)だけ平行移動する。
すると、新しい関数\(f2(x)=\left(x-\beta\right)^2\)となる。(図1.2)

\(f2(x)\)は\(x=\beta\)で最小値\(f2(x=\beta)=0\)を取る。
このときの座標\((\beta,0)\)は\(f2(x)\)の頂点である。

次に、\(f2(x)\)を\(y\)方向に\(\gamma\)だけ平行移動する。
すると、新しい関数\(f3(x)=x^2+\gamma\)となる(図1.3)

\(f3(x)\)は\(x=\beta\)で最小値を取る。
このときの座標\((\beta,\gamma)\)は\(f3(x)\)の頂点である。

次に、\(f1(x)\)の\(x^2\)の係数を\(\alpha\)とする。
このとき、\(\alpha\)の値によって、関数の概形が変わる。

\(1<\alpha\)

二次関数の傾きは\(f1(x)\)に比べて平らになる。
また、下に凸な関数でもある。(図1.4)

\(0<\alpha <1\)

二次関数の傾きは\(f1(x)\)に比べて急激になる。
また、下に凸な関数でもある。(図1.5)

\(\alpha <0\)

上に凸な関数である。(図1.6)

まとめると、頂点\((\beta,\gamma)\)である二次関数は以下のように表せる。
\begin{eqnarray}
f(x)=\alpha\left(x-\beta\right)^2+\gamma
\end{eqnarray}
このとき、\(\alpha\)正負によって、下に凸か、上に凸かが決まる。
また、\(|\alpha|\)が大きいほど、関数の概形は平らになっていき、小さいほど急激になる。

二次関数の表示方法

\(f(x)=ax^2+bx+c\)

特徴は、因数分解ができることである。
因数分解ができると、2次方程式\(f(x)=0\)を解きやすくなる。

因数分解とは? 覚えておくべき公式因数分解とはかけ算の形で表すこと 因数分解とは足し算(和)で表す式を、かけ算(積)で表す方法である。 例) \(x^2+5x+...

\(g(x)=\alpha\left(x-\beta\right)+\gamma\)

特徴は、グラフの概形が分かりやすいことがある。
関数の頂点や、傾き具合を知ることができる。

平方完成

平方完成とは二次関数を\(f(x)=ax^2+bx+c\)の形から、\(g(x)=\alpha\left(x-\beta\right)+\gamma\)の形に式変形することである。
平方完成の公式は以下である。
\begin{eqnarray}
f(x)&=&ax^2+bx+c\\
\\
&=&a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2}{4a}+c
\end{eqnarray}
これらを\(\alpha,\beta,\gamma\)に対応させると、
\begin{eqnarray}
\alpha&=&a\\
\\
\beta&=&-\frac{b}{2a}\\
\\
\gamma&=&-\frac{b^2}{4a}+c
\end{eqnarray}
である。