問題
問1
次の不等式を解け。
$$3\left(x-2\right)\leq4\left(2x+1\right)$$
問2
次の不等式を解け。
\begin{eqnarray}
2x-5&>& x-1\tag{式2.1}\\
8x+5&\leq&3x+10\tag{式2.2}
\end{eqnarray}
問3
以下の不等式を満たす最大の自然数nを求めよ。
$$\frac{n}{3}-\frac{n-4}{5}<3$$
問4
以下の不等式を満たす最大の整数xがx=6になる時のaの範囲を求めよ。
$$\frac{x-4}{2}>\frac{5}{6}x-a$$
【不等式の解説はこちら】
解答
問1の解答 符号の向きの入れ替えに注意
最初に式のかっこを外す。
すると、以下の様になる。
$$3x-6\leq8x+4$$
ここで、左辺にxの項、右辺にxを含まない数を揃える。
すると、以下の様になる。
$$-5x\leq10$$
ここで、両辺を-5で割る。
この時に、負の数を両辺にかけているので不等号の向きが変わることに注意する。
すると、以下の解答となる。
$$x\geq-2$$
問2の解答 xが同時に存在するかを確認
最初に式2.1を解く。
左辺にxの項、右辺にxを含まない項を揃える。
すると、以下の様になる。
$$x>4\tag{式2.3}$$
次に式2.2を解く。
式2.1同様に左辺にxの項、右辺にxを含まない項を揃える。
すると、以下の様になる。
$$5x\leq5$$
ここで、両辺を5で割ると以下の様になる。
$$x\leq1\tag{式2.4}$$
この時、式2.3と式2.4を同時に満たすxは存在しない。
よって、解答は”式2.1と式2.2を同時に満たすxは存在しない”である。
問3の解答 分数から小数に表示変換
最初にnについて不等式を解く。
両辺に15をかける。
すると、以下の様になる。
$$5n-3\left(n-4\right)<45$$
ここで、左辺を展開して左辺にnの項、右辺にnを含まない項を揃える。
すると、以下の様になる。
$$2n<33$$
ここで、両辺を2で割ると以下の様になる。
\begin{eqnarray}
n&<&\frac{33}{2}\\
&=&16.5
\end{eqnarray}
よって、不等式を満たす中での最大の整数nは16であることが分かる。
問4の解答 取りうるxの範囲に注意
最初にの不等式として解く。
両辺を6でかける。
すると、以下の様になる。
$$3\left(x-4\right)>5x-6a$$
次に左辺をxの項、右辺をxを含まない項で揃える。
すると、以下の様になる。
$$-2x>12-6a$$
ここで、両辺を-2で割る。
すると、以下の様になる。
$$x<3a-6\tag{式4.1}$$
ここで、問題に立ち返る。
xは最大の整数が6になるようなaを求める。
よって、式4.1は以下の不等式を満たすことになる。
$$16<3a-6\leq17$$
つまり、この不等式の解が解答となる。
-6を移項して、全辺を3で割る。
すると、以下の解答となる。
$$\frac{22}{3}< a \leq\frac{23}{3}$$
