問題
問1
図1.1のグラフから最頻値、中央値ｍ平均値を求めよ。
問2
以下の数字の集合から平均値がa-2となる時のaを求めよ。
$$21,13,16,15,18,a$$
問3
以下の数字の集合から第一四分位数、第二四分位数、第三四分位数を求めよ。
$$10,14,15,21,28,39,53,76,99$$
問4
以下のデータから平均値と分散と標準偏差を求めよ。
$$25,15,35,20,30$$
問5
xの標準偏差が2.87、yの標準偏差が4.74、xとyの共役分散が6.65の時相関係数rを求めよ。
解答
問1の解答 それぞれの定義に則って計算
最頻値は一番個数が多い値である。
よって、図1.1から最頻値は2である。
中央値は数が小さい順に並べた時に真ん中に来る数字であり、数字の個数が偶数の時は2つの数字の平均値である。
図1.1から中央にある数字は1と3である。
よって、1と3の平均値を取れば良いので、中央値は2である。
平均値は全ての数字の個数とそれぞれの数字をかけ合わせた数字の和を取り、それを全ての数字の個数で割った値である。
つまり、平均値は以下のように計算できる。
\begin{eqnarray}
平均値&=&\frac{5×1+6×1+1×6+3×6+4×7+2×9}{30}\\
&=&\frac{5+6+6+18+28+18}{30}\\
&=&\frac{27}{10}
\end{eqnarray}
問2の解答 文字のまま計算
平均値を求めると以下の様になる。
\begin{eqnarray}
平均値&=&\frac{21+13+16+15+18+a}{6}\\
&=&\frac{83+a}{6}
\end{eqnarray}
この平均値の値がa-2となるaを考えるので以下の等式が成り立つaを求める。
$$\frac{83+a}{6}=a-2$$
この式をaの式に変形すると以下になる。
$$a=19$$
よって、a=19である。
問3の解答 定義に則って計算
最初に第二四分位数を求める。
第二四分位数は中央値と同じである。
よって、第二四分位数は28であることが分かる。
次に第一四分位数と第三四分位数を求める。
第一四分位数は中央値と最初のデータの中央値になる。
よって、第一四分位数は15であることが分かる。
また、第三四分位数は第二四分位数と最後のデータの中東値になる。
よって、第三四分位数は53であることが分かる。
問4の解答 平均からの標準偏差
まず、平均値を求める。
平均値を求めると以下になる。
\begin{eqnarray}
\overline{x}&=&\frac{25+15+35+20+30}{5}\\
&=&25
\end{eqnarray}
次に分散を求める。
分散の式に則って計算すると以下になる。
\begin{eqnarray}
s^2&=&\frac{1}{5}\left(\left(25-25\right)^2+\left(15-25\right)^2+\left(35-25\right)^2+\left(20-25\right)^2+\left(30-25\right)^2\right)\\
&=&50
\end{eqnarray}
よって、標準偏差sは以下になる。
\begin{eqnarray}
s&=&\sqrt{50}\\
&=&5\sqrt{2}\\
&=&7.1
\end{eqnarray}
問5の計算 標準偏差からの相関係数
相関係数rを求める式に則ると以下のように計算できる。
\begin{eqnarray}
r&=&\frac{s_{xy}}{s_x s_y}\\
&=&\frac{6.65}{2.87×4.74}\\
&=&0.49
\end{eqnarray}
