問題
問1
三角形の三辺が以下の時、角Aは鋭角、直角、鈍角のいすれかを調べろ。
$$a=8,b=5,c=4$$
問2
三角形の辺の比と角度Bが以下の時、sinAを求めよ。
$$a:b=1:2,B=45°$$
問3
三角形が以下の等式を満たす時、一番小さい角度を求めよ。
$$\frac{\sin A}{1+\sqrt{3}}=\frac{\sin B}{2}=\frac{\sin C}{\sqrt{2}}$$
問4
三角形において以下の等式を満たすことを示せ。
$$a=b\cos C+c\cos B$$
問5
三角形の辺が以下の時、面積Sを求めよ。
解答
問1の解答 余弦定理を使ってcosの値を調べる
余弦定理よりcosAは以下の式で計算できる。
\begin{eqnarray}
\cos A&=&\frac{-a^2+b^2+c^2}{2bc}\\
&=&-\frac{23}{40}<0
\end{eqnarray}
よって、角Aはは鈍角であることが分かる。
問2の解答 辺の比から正弦定理を使う
三角形の辺aを実数kと置いた時、正弦定理より以下の等式が成り立つ。
$$\frac{k}{\sin A}=\frac{2k}{\sin B}$$
よって、sinAは以下の様に計算できる。
\begin{eqnarray}
\sin A&=&\frac{1}{2}\cos45°\\
&=&\frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{2}}\\
&=&\frac{\sqrt{2}}{4}
\end{eqnarray}
問3の解答 辺の比から余弦定理を使う
式3.1から以下の比が成り立つ。
$$\sin A:\sin B:\sin C=1+\sqrt{3}:2:\sqrt{2}$$
ここで正弦定理から以下の比が成り立つ。
$$\sin A:\sin B:\sin C=a:b:c$$
よって、三角形の辺の比は以下になる。
$$a:b:c=1+\sqrt{3}:2:\sqrt{2}$$
ここで、三角形の辺を実数kを持ちいるとそれぞれ以下の様に表せる。
\begin{eqnarray}
a=\left(1+\sqrt{3}\right)k\\
b=2k\\
c=\sqrt{2}k
\end{eqnarray}
ここで一番小さい辺はcであるので、一番小さい角はCであることが分かる。
次に余弦定理でcosCの値を求める。
余弦定理でcosCを求めると以下になる。
\begin{eqnarray}
\cos C&=&\frac{-c^2+a^2+b^2}{2ab}\\
&=&\frac{-\left(\sqrt{2}k\right)^2+\left(\left(1+\sqrt{3}\right)k\right)^2+\left(2k\right)}{2・\left(1+\sqrt{3}\right)k・2k}\\
&=&\frac{\sqrt{3}}{2}
\end{eqnarray}
よって、角Cは30°であることが分かる。
問4の解答 余弦定理から求める
余弦定理は以下である。
$$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$$
ここで、全項を余弦定理を用いて置き換えるといかになる。
\begin{eqnarray}
a^2&=&\left(a^2+c^2-2ac\cos B\right)+\left(a^2+b^2-2ab\cos C\right)-\left(-a^2+b^2+c^2\right)\\
&=&3a^2-2ac\cos B-ab\cos C
\end{eqnarray}
ここで、aの式に直すと以下になることが分かる。
$$a=c\cos B+b\cos C$$
問5の解答 正弦定理と余弦定理からsinを求める
最初に余弦定理からcosAを求める。
cosAは以下になる。
\begin{eqnarray}
\cos A&=&\frac{-a^2+b^2+c^2}{2・b・c}\\
&=&\frac{-\left(\sqrt{7}\right)^2+4^2+3^2}{2・4・3}\\
&=&\frac{3}{4}
\end{eqnarray}
次に求めたcosAからsinAを求める。
sinAは以下の様に求められる。
\begin{eqnarray}
\sin A&=&\sqrt{1-\cos^2A}\\
&=&\sqrt{1-\left(\frac{3}{4}\right)^2}\\
&=&\frac{\sqrt{7}}{4}
\end{eqnarray}
よって、三角形の面積Sは以下の様に求められる。
\begin{eqnarray}
S&=&\frac{1}{2}bc\sin A\\
&=&\frac{1}{2}・4・3・\frac{\sqrt{7}}{4}\\
&=&\frac{3\sqrt{7}}{2}
\end{eqnarray}
