正弦定理
正弦定理とは三角形とその三角形に外接する円の関係を示した定理である。
図1の時、正弦定理は以下である。
$$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$$
余弦定理
余弦定理は三角形の辺の長さとcosの関係を表した定理である。
図2の時、余弦定理は以下になる。
$$a^2=b^2+c^2-bc\cos A$$
余弦定理は三角形の辺を直線ではなく、ベクトルとして考えると分かる。
図3は三角形の辺をベクトルとして考えた図である。
この時、
$$\vec{b}+\vec{a}=\vec{c}$$
である事が分かる。
つまり、
$$\vec{a}=\vec{c}-\vec{b}式1$$
となる。
次に式1の両辺を2乗する。
すると、
$$|\vec{a}|^2=|\vec{c}-\vec{b}|^2$$
となる。
この右辺を展開すると
$$|\vec{c}-\vec{b}|^2=b^2+c^2-bc\cos A$$
となることが分かる。
よって余弦定理は三角形の辺をベクトルとして考えた時のベクトル同士の関係を表した定理となる。
三角比を使って三角形の面積を求める
三角比を使って三角形の面積を求める事ができる。
三角形の面積の公式は
$$\frac{1}{2}×(底辺)×(高さ)=(三角形の面積)$$
となる。
この時の三角形の高さをsinを用いて表す。
図4はある三角形の図である。
ここで高さhをbと角度Aを用いて表すと
$$h=b\cos A$$
となる。
よって、三角形の面積Sは
$$S=\frac{1}{2}bc\cos A$$
となることが分かる。
これで三角形の面積を求めることができる。
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