問題
問1
以下の2つの部分集合の共通集合を求めよ。
$$A={1,3,7,9},B={3,6,7}$$
問2
150以下の自然数の内、5の倍数でない数は何個あるか求めよ。
問3
200以上500以下の自然数について、6の倍数または9の倍数となる数の個数を求めよ。
問4
1以上100以下の自然数について、2と5と9のいずれかで割り切れる数の個数を求めよ。
解答
問1の解答 2つの部分集合の共通集合
部分集合AとBの共通集合の個数、つまり
$$n(A\cap B)$$
を求めるということである。
図で表すと図1.1の斜線部を求めるということである。
AとBの共通集合は以下である。
$$A\cap B={3,7}$$
よって個数は2個である。
問2の解答 5の倍数の補集合
5の倍数ではない数の個数を求めるには、5の倍数の個数を全体の個数から引けば良い。
全体の範囲(ここでは1以上150以下の自然数)をUとした時、図で表すと図2.1の様になる。
まず、5の倍数の個数を求める。
5の倍数の個数は以下から求める。
\begin{eqnarray}
n(5の倍数\cap U)&=&\frac{150}{5}
&=&30\tag{①}
\end{eqnarray}
次に全体の個数から①を引く。
$$150-①=120$$
よって5の倍数でない自然数の個数は120個である。
問3の解答 2つの倍数の個数を求めてから最小公倍数の個数を引く
最初に6の倍数と9の倍数の個数を求めてそれらの個数を足す。
最後に2つの個数の和から6と9の最小公倍数の個数を引く。
図で表すと図3.1の様になる。
6の倍数と9の倍数を足した後、斜線部(6と9の最小公倍数)の個数を2回足しているので最後に引く必要がある。
まず6の倍数の個数を求める。
6の倍数を求める時に、最初に1~500までの6の倍数の個数を求める①。
次に1~200までの個数を求める②。
最後に①から②を引くと200以上500以下の自然数での6の倍数の個数を求められる。
よって、まず1~500までの6の倍数の個数を求める。
$$\frac{500}{6}=83.333$$
よって、83個である。
次に1~200までの個数を求める。
$$\frac{200}{6}=33.333$$
よって33個である。
よって、200~500の範囲の6の倍数の個数は
$$83-33=50$$
より50個となる。
9の倍数も6の倍数と同様に求めていく。
1~500までの個数を求める。
$$\frac{500}{9}=55.555$$
よって55個である。
次に1~200までの個数を求める。
$$\frac{200}{9}=22.222$$
よって22個である。
よって200~500の範囲の9の倍数の個数は
$$55-22=77$$
より77個である。
次に6と9の最小公倍数の個数を求める。
6と9の最小公倍数は18である。
1~500までの18の倍数の個数を求める。
$$\frac{500}{18}=27.777$$
よって27個である。
次に1~200までの個数を求める。
$$\frac{200}{18}=11.111$$
よって11個である。
よって、200~500の範囲における18の倍数の個数は
$$27ー11=16$$
より16個である。
最後に6の倍数と9の倍数の個数の和から18の倍数の個数を引く。
$$\left(50+77\right)-16=111$$
よって、200~500の範囲の6または9の倍数の個数は111個である。
問4の解答 最後に3つの数字の最小公倍数を足すことを忘れない
問4は問3を拡張した問題である。
問3と同じ様に最初は2と5と9の倍数の個数を求める①。
次に2と5と9のそれぞれの組み合わせの最小公倍数の個数を求めて①から引く②。
そして、最後に2と5と9の3つの数の最小公倍数の個数を②に足す。
図で表すと図4.1の様になる。
それぞれ重なっている部分を引く必要があるが、3つの数が重なっている部分が無くなってしまうので最後に足す必要がある。
まず、2と5と9の倍数の個数を求める。
それぞれ以下になる。
\begin{eqnarray}
2の倍数 &\frac{100}{2}&=50個\\
5の倍数 &\frac{100}{5}&=20個\\
9の倍数 &\frac{100}{9}&=11.111→11個
\end{eqnarray}
よって、それぞれの倍数の個数を足し合わせると以下になる。
$$50+20+11=81個\tag{①}$$
次に{2,5},{2,9},{5,9}の組み合わせの最小公倍数の個数を求める。
最小公倍数はそれぞれ10,18,45である。
\begin{eqnarray}
10の倍数 &\frac{100}{10}&=10個\\
18の倍数 &\frac{100}{18}&=5.555→5個\\
45の倍数 &\frac{100}{45}&=2.222→2個
\end{eqnarray}
よって、これらの和を①から引くと
$$①-\left(10+5+2\right)=64\tag{②}$$
となる。
次に2と5と9の最小公倍数の個数を求める。
最小公倍数は90である。
$$\frac{100}{90}=1.111→1個$$
最後に②を足す。
$$②+1=65$$
よって、2と5と9のいずれかで割り切れる数の個数は65個である。
