問題
問1
1個のサイコロを2回振った時の目の和が6又は9になる場合は何通りあるか。
問2
大中小の大きさの3つのサイコロを振った時に、目の積が偶数に鳴る場合は何通りあるか。
問3
以下の等式を満たす自然数の組(x,y,z)の組み合わせは何通りあるか。
$$x+2y+3z=12\tag{式4.1}$$
解答
問1の解答 それぞれの場合の数について考える
最初に6になる場合を考える。
$${1,5},{2,4},{3,3},{4,2},{5,1}$$
以上の5通りであることが分かる。
次に9になる場合を考える。
{3,6},{4,5},{5,4},{6,3}
の4通りであることが分かる。
よって、足し合わせることで6又は9になる場合は9通りである。
問2の解答 奇数の場合の数を全体の場合の数から引く
求め方は3つのサイコロを振った時のあり得る全ての場合の数から奇数になる場合の数を引く。(偶数になる集合の補集合を取る)
まず、3つのサイコロを振った時にあり得る全ての場合の数を求める。
サイコロの目は全てで6つあるので、サイコロの数だけ累乗する。
$$6^3=216\tag{①}$$
よって、216通りある。
次に奇数になる時を考える。
奇数になる時は目の数が全て奇数の場合である。
サイコロの目が奇数になる場合は3通りである。
これをサイコロの数だけ累乗する。
$$3^3=27\tag{②}$$
よって、27通りある。
最後に①から②を引く。
$$①-②=189$$
よってサイコロの目の積が偶数になる場合は189通りである。
問3の解答 zの最大の数を考える
最初にzの値を制限することから始める。
まず、z=4の時を考える。
xとyを最小の1とすると式4.1の左辺は以下になる。
$$1+2・1+3・4=15$$
12より大きくなることからzが4以上の時は式4.1は満たさないことが分かる。
次にz=3の時を考える。
xとyを最小の1とすると式1の左辺は以下になる。
$$1+2・1+3・3=12$$
よって式4.1は満たされる事が分かる。
つまり、z=1,2,3の場合の数を考える。
$$z=1$$
式4.1は以下の様になる。
$$x+2y=9\tag{式4.2}$$
式4.2を満たす(x,y)の組み合わせは以下になる。
$$\left(x,y\right)=\left(1,4\right),\left(3,3\right),\left(5,2\right),\left(7,1\right)$$
よって、z=1の時に式4.1を満たす(x,y)の組み合わせは4通りである。
$$z=2$$
式4.1は以下の様になる。
$$x+2y=6\tag{式4.3}$$
式4.3を満たす(x,y)の組み合わせは以下になる。
$$\left(x,y\right)=\left(2,2\right),\left(4,1\right)$$
よって、z=2の時に式4.1を満たす(x,y)の組み合わせは2通りである。
$$z=3$$
式4.1は以下の様になる。
$$x+2y=3\tag{式4.4}$$
式4.4を満たす(x,y)の組み合わせは以下になる。
$$\left(x,y\right)=\left(1,1\right)$$
よって、z=3の時に式4.1を満たす(x,y)の組み合わせは1通りである。
よって、z=1,2,3の場合の数を足し合わせる。
$$4+2+1=7$$
よって、式4.1を満たす自然数の組(x,y,z)は7通り存在する。
