円の接線
接線と接点
接線と接点の説明をする。
図1の様に円に1点で交わる線の事を接線と呼ぶ。
また、接線と円の交わる1点の事を接点と呼ぶ。
この時、円の中心点Oと接点を結んだ線は接線と垂直になる。
接線の長さは等しい
ここで、接線の特徴について説明する。
図2の様に点Pから円の接線を2本伸ばし、それぞれの接点を点A,点Bとする。
この時、接線PAと接線PBは等しくなる。
これは、円の特徴から求めることができる。
まず、円の中心点であるOと点Pの間に線を結ぶ。
この時できる三角形OAPとOBPに注目する。
実はこの2つの三角形は合同である。
この三角形が合同である事が分かると、接線PAと接線PBは等しくなる事が分かる。
以下から2つの三角形が合同であることを示す。
図3の様に線OAと線OBは円の半径であるので以下の様になる。
$$OA=OB$$
また、線OPは2つの三角形の共通する。
そして、角OAPと角OBPは共に前節から垂直であることが分かる。
なので、それぞれの接線の長さをパスカルの定理から求めるとそれぞれ接線PAと接線PBは以下のようになる。
$$PA^2=OP^2-OA^2$$
$$PB^2=OP^2-OB^2$$
この時、線OAと線OBは等しいので接線PAと接線PBは等しい事が分かる。
内分と外分
内分
内分とは図4のように点Aと点Bの間に点Pを作り、線分ABを線APと線PBをm:nの比で分ける事を言う。
外分
外分とは図5のように点Aと点Bの延長上に点Pを作り、線分ABを線APと線PBをm:nの比で伸ばす事を言う。
三角形の二等分線
内角の二等分線の線の比
図6のように三角形の角を二等分にする線の事を角の二等分線と言う。
この時、以下の法則が成り立つ。
$$AB:AC=PB:PC式1$$
この法則を示す。
図7のような三角形を考える。
この三角形を線APを軸として三角形APCを三角形APBの方に折りたたむとすると、図8のようになる。
そして、点Cから線分BPに平行な線を伸ばして線分APの延長上と交わる点をQとする。
この時、三角形ABPと三角形ACQは相似であることが分かる。
つまり、以下の比が成り立つ。
$$AB:AC=PB:QC式2$$
ここで、三角形PQCを考える。
角PQCをθとすると、角APBもθとなる。
また、図7から角APCは180ーθとなるので、折りたたんだ時の角BPCは180ー2θとなる。
また、角BPCと角PCQは平行線の錯覚から等しい。
すると、三角形PQCを考えると角CPQはθとなる。
つまり、三角形PQCは二等辺三角形となる。
よって、以下が成り立つ。
$$QC=PC$$
この結果を式2に代入すると式1を満たす事が分かる。
これで式1が満たされる事を証明した。
外角の二等分線の線の比
図8のように三角形の外角を二等分した時の線も角の二等分線と言う。
この時の、外角の二等分線を引いた時に以下の法則が成り立つ。
$$AC:BC=AP:PB式3$$
図9のような三角形を考える。
この時、点Bから線CPに平行な線を伸ばした時の線ACとの交わる点を点Qとする。
すると、三角形APCと三角形ABQは相似であることが分かる。
よって、以下の比が成り立つ。
$$AC:CQ=AP:PB式4$$
ここで、角BCPをθとする。
すると、平行線から角BQCはθとなる。
また、角ACBは180ー2θということも分かるので、三角形QBCを考えると角QBCもθであることが分かる。
この時、三角形QBCは二等辺三角形なので以下になることが分かる。
$$CQ=BC$$
これを式4に代入すると式3が成り立つことが分かる。
よって式3が成り立つことが証明された。
外心と内心
三角形の辺の垂直二等分線から求める外心
三角形の3辺のそれぞれの垂直二等分線が一つに交わる点Oは三角形の3点を通る円の中心点である。
この時の円を外接円と呼び、外接円の中心を外心と呼ぶ。
三角形の内角の二等分線から求める内心
三角形の3つの内角の二等分線をそれぞれ伸ばした時に1点で交わる点Oは三角形の3辺が接線となる円の中心点である。
この時の円を内接円と呼び、内接円の中心点を内心と呼ぶ。
