分数関数と無理関数の問題

左辺の分母を右辺に持ってきて展開をする。
\begin{eqnarray}
2x+1&=&\left(1-2x\right)\left(x+1\right)\\
\\
&=&-2x^2-x+1
\end{eqnarray}
よって、以下の不等式を得ることができる。
\begin{eqnarray}
2x^2+3x>0\\
\\
x\left(2x+3\right)>0
\end{eqnarray}
よって、不等式の解は以下となる。
\begin{eqnarray}
x<-\frac{3}{2},0< x
\end{eqnarray}

まず、以下の方程式を考える。
\begin{eqnarray}
\sqrt{3-2x}=2x-1
\end{eqnarray}
この方程式の両辺を二乗する。
\begin{eqnarray}
\sqrt{3-2x}=2x-1
\end{eqnarray}
この方程式を整理すると以下のような二次方程式になる。
\begin{eqnarray}
\left(2x+1\right)\left(x-1\right)=0
\end{eqnarray}
ここで、\(x=-\frac{1}{2}\)の時、最初の方程式を満たさない。
よって、方程式の解は\(x=1\)となる。
図2.1は問の不等式を考えた図である。

ここで、不等式を満たす範囲は\(x<1\)の範囲であることが分かる。

最初に方程式を二乗したことで\(\sqrt{3－2x}\)と\(2x-1\)の共有点である\(-\frac{1}{2}\)を求めてしまった。
なので、方程式の解として\(x=-\frac{1}{2}\)は取り除かなければならないのである。
よって、解は以下である。
\begin{eqnarray}
x<1
\end{eqnarray}

無理方程式を整理すると以下の様になる。
\begin{eqnarray}
\sqrt{2x-5}=ax+2
\end{eqnarray}
以上の方程式の実数解の個数は関数\(\sqrt{2x-5}\)と\(ax+1\)の共有点の個数である。
2つの関数をグラフにすると図3.1の様になる。
ここで、共有点が1個になるときを考える。
共有点が1個になる時は2つの関数が接している時、もしくは\(0\geq a\geq-\frac{5}{4}\)であることが分かる。
よって、2つの関数が接している時の\(a\)を考える。
方程式の両辺を二乗すると以下の様になる。
\begin{eqnarray}
2x-5=\left(ax+2\right)^2\\
\\
a^2x^2+\left(4a-2\right)x+9=0
\end{eqnarray}
この時の、二次方程式の実数解が1個の時を考えるので、判別式\(D=0\)の時を考える。
\begin{eqnarray}
D=-4\left(5a-1\right)\left(a+1\right)=0\\
\\
a=-1,\frac{1}{5}
\end{eqnarray}
ここで、図3.1から2つの関数が接する時は\(a>0\)となることが分かる。よって、2つの関数が接する時、\(a=\frac{1}{5}\)であることが分かる。

\(a=-1\)は\(-\sqrt{2x－5}\)と接する時の\(a\)の値である。
最初に二乗したことで\(-\sqrt{2x－5}\)との共有点も考えなくてはならなくなった。

よって、方程式の実数解の個数(2つの関数の共有点の個数)は以下の様になる。
\begin{eqnarray}
a>\frac{1}{5},-\frac{4}{5}>a&:&実数解0個\\
\\
a=\frac{1}{5},0\geq a\geq-\frac{4}{5}&:&実数解1個\\
\\
\frac{1}{5}> a>0&:&実数解2個
\end{eqnarray}

\(f(x)\)の\(x\)に\(g(x)\)を代入すると以下の様になる。
\begin{eqnarray}
\left(f\circ g\right)(x)&=&\frac{2\left(\frac{3x+b}{x+c}\right)+a}{\left(\frac{3x+b}{x+c}\right)+1}\\
\\
&=&\frac{\left(6+a\right)x+2b+c}{4x+b+c}
\end{eqnarray}
よって、以下の連立方程式を満たす。
\begin{eqnarray}
b+c&=&3\\
\\
6+a&=&9\\
\\
2b+c&=&8
\end{eqnarray}
この連立方程式を解くと\(a,b,c\)は以下の様になる。
\begin{eqnarray}
a&=&3\\
b&=&5\\
c&=&-2
\end{eqnarray}