本記事では、2つの座標系について説明する。
馴染みがある座標系は直交座標系であり、3次元であれば\(x,y,z\)を用いて空間上の点を表す。
しかし、\(x,y,z\)以外の変数を3つ(2次元であれば2つ)用いることで空間上の点を表すことができる。
主に用いられるのが極座標系と円柱座標系である。
座標系は、考えている関数によって使い分けることで表式を分かりやすく表すことができる。
極座標系
3次元での極座標系について説明する。
図のように\(x\)軸、\(y\)軸、\(z\)軸と空間上の点\(R(x,y,z)\)がある。
ここで、原点\(O\)と点\(R\)との距離を\(r\)として、線分\(OR\)と\(z\)軸とのなす角度を\(\phi\)とする。
また、点\(R\)から\(xy\)平面に下ろした垂線と\(xy\)平面との交点を\(H\)とした時、線分\(OH\)と\(x\)軸とのなす角度を\(\theta\)とする。
すると、直交座標系で表されている点\(R(x,y,z)\)の各成分はそれぞれ\(r,\theta,\phi\)を用いて以下のように表せる。
\begin{eqnarray}
x&=&r\sin\phi\cos\theta\\
\\
y&=&\sin\phi\sin\theta\\
\\
z&=&r\cos\phi
\end{eqnarray}
これが3次元の極座標表示である。
2次元の極座標表示をする場合は、\(\phi=\frac{\pi}{2}\)とする。
円柱座標系
円柱座標系について説明する。
図のように\(x\)軸、\(y\)軸、\(z\)軸と空間上の点\(R(x,y,z)\)がある。
ここで、点\(R\)と\(z\)軸との距離を\(r\)とする。
また、点\(R\)から\(xy\)平面に下ろした垂線と\(xy\)平面との交点を\(H\)とした時、線分\(OH\)と\(x\)軸とのなす角度を\(\theta\)とする。
すると、直交座標系で表せれている点\(R(x,y,z)\)の各成分はそれぞれ\(r,\theta,z\)を用いて以下のように表すことができる。
\begin{eqnarray}
x&=&r\cos\theta\\
\\
y&=&r\sin\theta\\
\\
z&=&z
\end{eqnarray}
これが円柱座標表示である。
