様々な積分方法

はじめに

積分の計算方法は、微分をする前の関数を探すことであった。

だが、中には積分した関数を簡単に求めることができない関数もある。
寧ろそういった関数のほうが多いだろう。
そのような関数を積分する時は、様々な積分の計算方法を知っておく必要がある。
本記事では以下の2つの積分方法について説明する。

• 部分積分
• 置換積分

それでは、様々な積分の計算方法について説明する。

様々な積分方法

部分積分

部分積分は以下のように2つの関数の積を積分する時に有効な積分方法である。
$$\begin{array}{r}{\int }_b^{a}f(x)g(x)dx={[F(x)g(x)]}_b^a-{\int }_b^{a}F(x)g^{\prime }(x)dx\\ \\ F(x)=\int f(x)dx\\ g^{\prime }(x)=\frac{d}{dx}g(x)\end{array}$$
ここで、部分積分を導出してみる。

部分積分を導出するには積の微分から考える。
積の微分とは以下であった。
$$\begin{array}{r}{(f(x)g(x))}^{\prime }=f^{\prime }(x)g(x)+f(x)g^{\prime }(x)\end{array}$$
この式の右辺の2項目を左辺に移行して両辺を$x=b\mathrm{か}\mathrm{ら}x=a$まで積分して整理すると、部分積分を導出することができる。
$$\begin{array}{rcl}{\int }_b^a{f}^{\prime }(x)g(x)dx& =& {\int }_b^a((f(x)g(x){)}^{\prime }-f(x)g^{\prime }(x))dx\\ \\ & =& {[f(x)g(x)]}_b^a-{\int }_b^{a}f(x)g^{\prime }(x)dx\end{array}$$

部分積分は様々な関数において使用することができる。
代表的なのが対数関数の積分である。
微分すると対数関数$\log x$になる関数は一見すると分からない。
なので、対数関数を積分する時は部分積分を使う。
以下にその対数関数の積分方法を記す。

まず、以下のように$\log x$の前に係数$1$があると考える。
そして、係数$1$を積分して$\log x$を微分する関数として部分積分を行うと以下になる。
$$\begin{array}{rcl}{\int }_b^{a}1\cdot \log xdx& =& {[x\log x]}_b^a-{\int }_b^{a}x\frac{1}{x}dx\\ \\ & =& a\log a-b\log b-(a-b)\\ \\ & =& a(\log a-1)-b(\log b-1)\end{array}$$
このように部分積分を用いて対数関数の積分を行うことができた。

また、この積分結果から微分すると$\log x$になる関数は$x\log x-x$であることも分かる。

置換積分

置換積分とは積分する変数を別の変数に変換して積分を行う積分方法である。
例えば、以下の積分があるとする。
$$\begin{array}{r}{\int }_b^{a}f(x)dx\end{array}$$
この時、$f(x)$をある関数$g(x)$が変数である関数$f(t(x))$とすると積分は以下のように変数変換することができる。
$$\begin{array}{r}{\int }_{t(b)}^{t(a)}f(t)\frac{1}{\frac{dt}{dx}}dt\end{array}$$
この積分において変数変換する前の積分と変化した箇所は積分範囲と微小幅である。

まず、積分範囲について説明する。
積分変数が$x\mathrm{か}\mathrm{ら}t$に変わったことで、積分範囲を$a,b$に対応する$t$の値を考える必要がある。
それは、$t$を$x$の関数と見た時(つまり、$t=t(x)$と見る)に$x=a,x=b$の時の$t(x)$の値を積分範囲として考える。
つまり、$x=a\to t=t(a),x=b\to t=t(b)$となる。
これを、変数変換後の積分範囲として考える。

次に積分の微小幅について考える。
積分の変数が$x\mathrm{か}\mathrm{ら}t$に変換されるので、それに伴って微小幅も$dx$から$dt$に変換しなければならない。
そこで、$dx\mathrm{と}dt$の関係について考える必要がある。
まず、$t(x)$という関数を考えた時に、微小の変化幅$dt$は、変数である$x$の微小幅$dx$と関数$t(x)$の導関数$\frac{dt}{dx}$の積である。
よって、$dt=\frac{dt}{dx}dx$である。
つまり、$dx=\frac{dt}{\frac{dt}{dx}}$となる。
よって、$x\mathrm{か}\mathrm{ら}t$へ変数変換すると積分は以下のようにかける。
$$\begin{array}{r}{\int }_b^{a}f(x)dx={\int }_{t(b)}^{t(a)}f(t)\frac{1}{\frac{dt}{dx}}dt\end{array}$$

実際に置換積分が必要な場合の積分を考えてみる。

以下の積分を考える。
$$\begin{array}{r}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{1+x^2}dx\end{array}$$
ここで変数を$x\mathrm{か}\mathrm{ら}\theta$へと変換させる。
変数$\theta$を$\theta =Arc\tan x$と置く。
すると、$\frac{d\theta }{dx}={\cos }^2\theta$であり、積分範囲は$0\mathrm{か}\mathrm{ら}\frac{\pi }{2}$と変換される。
また、$\frac{1}{1+x^2}=\frac{1}{1+{\tan }^2\theta }={\cos }^2\theta$と書き換えられるので、積分は以下になる。
$$\begin{array}{rcl}{\int }_{\frac{\pi }{2}}^0{\cos }^2\theta \frac{1}{{\cos }^2\theta }d\theta & =& {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}d\theta \\ \\ & =& \frac{\pi }{2}\end{array}$$
このように置換積分を用いて積分を計算することができる。

まとめ

本記事では、部分積分と置換積分について説明した。
その内容をまとめる。

• 部分積分は関数の積の積分を微分する関数と積分する関数に分けて計算をする。
• 置換積分は変数を変換し、それに伴って積分範囲と微小値も新しい変数に変える。

これらの積分をマスターすることで積分をできる関数の幅が広がっていく。
一見積分できなさそうな関数でもよく考えると、これらの手法によって積分ができるケースも多い。
ぜひ、部分積分と置換積分はマスターしてほしい。