問題
問1
以下の方程式の解の一つが2+3iの時、他の解と実定数pを求めよ。
$$x^2+px+13=0$$
問2
方程式x^2-px+q=0の解をα、βとする時、以下の式をp,qで表わせ。
$$\left(1-α\right)\left(1-β\right)\tag{式2.1}$$
問3
次の連立方程式を解け。
\begin{eqnarray}
x+y=2\\\
x^2+y^2=10
\end{eqnarray}
問4
解の公式を用いて以下の式を因数分解せよ。
$$2x^2-5xy+2y^2+x+y-1\tag{式4.1}$$
【二次方程式の解と係数の関係の解説はこちら】
解答
問1の解答 共役な複素数から方程式を作り展開する
複素数が二次方程式の解である時、2つの複素数の解は互いに共役な複素数である。
よって、もう一つの解は2-3iである。
方程式の解が分かったので因数を作り式を展開していく。
α=2+3i,β=2-3iとする。
\begin{eqnarray}
\left(x-α\right)\left(x-β\right)&=&x^2-\left(α+β\right)x＋αβ\\
&=&x^2-4x+13\\
&=&x^2+px+13
\end{eqnarray}
よって、p=-4である。
問2の解答 解と係数の関係を使う
まず、式2.1を展開していく。
\begin{eqnarray}
(式2.1)&=&1-α-β+αβ\\
&=&1-\left(α+β\right)+αβ
\end{eqnarray}
ここで、解と係数の関係を用いると以下の様になる。
\begin{eqnarray}
(式2.1)&=&1+p+q
\end{eqnarray}
問3の解答 方程式を二乗する
まず、最初の方程式の両辺を二乗する。
\begin{eqnarray}
\left(x+y\right)^2=x^2+y^2+2xy\\
&=&10+2xy\\
&=&4
\end{eqnarray}
よって、xyは以下になる。
$$xy=-3$$
これらからxとyの関係は和を取ると2になり、積を取ると-3となる。
これらのxとyは以下になる。
$$\left(x,y\right)=\left(3,-1\right),\left(-1,3\right)$$
問4の解答 xについての二次方程式を解く
まず、式4.1が0を取る時の方程式と置く。
更に、式4.1をxについての二次方程式として見る。(yを定数とする。)
\begin{eqnarray}
(式4.1)&=&2x^2+\left(1-5y\right)x+2y^2+y-1\\
&=&0
\end{eqnarray}
ここで、xの解を求めるために解の公式を用いて求める。
\begin{eqnarray}
x&=&\frac{-\left(1-5y\pm\sqrt{\left(1-5y\right)^2-4・2\left(2y^2+y-1\right)}\right)}{2・2}\\
&=&\frac{1}{4}\left(-1+5y\pm\left(3y+3\right)\right)\\
&=&2y-1,\frac{1}{2}y-1
\end{eqnarray}
これでxについての解を求めることができたので、因数分解をすると以下のようになる。
$$(式4.1)=\left(x-2y+1\right)\left(x-\frac{1}{2}+1\right)$$
【二次方程式の解と係数の関係の解説はこちら】
