数学Ⅱ

二乗をすると負になる複素数を考える

複素数

複素数と虚数単位

複素数とは実数と虚数の和である。
実数とは二乗すると正になる数字のことであり、虚数とは二乗すると負になる数字のことである。
複素数は以下のように表せる。
$$a+bi$$
この時、実数部分であるaを実部と呼び、虚数部分であるbiのbを虚部と呼ぶ。

この時に表れたiは虚数単位と呼び以下の定義を満たす。
$$i^2=-1$$
この虚数単位を導入すると平方根の中の数が負の値を取る数も存在することができる。
\begin{eqnarray}
\sqrt{-a}&=&\sqrt{\left(-1\right)a}\\
&=&\sqrt{a}i
\end{eqnarray}
-1の平方根を取ると虚数単位iになる。
よって、以上のように計算できる。

複素数の四則演算

複素数同士の四則演算は実部と虚部のそれぞれの演算を行う。
実部と虚部の演算は行わない。
以下に四則演算を記述する。
$$\left(a+bi\right)\pm\left(c+di\right)=\left(a\pm c\right)+\left(b\pm d\right)i$$
$$\left(a+bi\right)\left(c+di\right)=\left(ac-bd\right)+\left(ad+bc\right)i$$
\begin{eqnarray}
\frac{c+di}{a+bi}&=&\frac{\left(c+di\right)\left(a-bi\right)}{\left(a+bi\right)\left(a-bi\right)}\\
&=&\frac{ac+bd}{a^2+b^2}+\frac{ad-bc}{a^2+b^2}i
\end{eqnarray}
除法をする時に分母が複素数の場合、分母に虚数単位があると計算することができない。
そこで、分母の複素数の共役な複素数をかけることで分母を実数に変えることができる。
よって、分子の実部と虚部に分けて複素数を計算することができる。

共役な複素数

共役な複素数とは虚部に符号を変えた複素数のことである。
a+biの共役な複素数はa-biである。
共役な複素数は、前述のように複素数の除法を計算する時などに使用する。

二次方程式の解を調べる判別式

二次方程式の解の種類を調べる時に判別式を計算する。
以下の記事ではDが0以上の時、解の種類は実数解もしくは重解のみであり、Dが負の時は解は存在しないとしてきた。
二次方程式の解の判別
だが、それは実数解のみを考えた場合であり、本来は二次方程式の解の種類は実数解もしくは虚数解に判別することができる。

では、虚数単位が存在する時はどのような場合であるのか。
それは、判別式Dが負の値を取る時である。
判別式Dが負の値を取る時、以下のような解の公式の平方根の中が負を取る時である。
\begin{eqnarray}
x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\
D=b^2-4ac < 0
\end{eqnarray}
平方根の中が負を取る時、虚数単位を用いなければ数を表すことができない。
よって、判別式Dが負の時、虚数解を持つのである。

判別式Dについて解の種類との関係は以下が成り立つ。
\begin{eqnarray}
D >0の時&、&実数解が2つ\\
D=0の時&、&重解\\
D <0の時&、&虚数解が2つ
\end{eqnarray}

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