数学Ⅱ

複素数の問題

問題

問1

次の計算をせよ。
$$\frac{1-3i}{1+3i}+\frac{1+3i}{1-3i}\tag{式1.1}$$

問2

xは実数である時、次の値が実数であるようなxを求めよ。
$$\left(x+2i\right)\left(2+i\right)\tag{式2.1}$$

問3

kを定数とする。
以下の方程式の解の種類を判別せよ。
$$kx^2+4x+2=0\tag{式3.1}$$

問4

以下の2つの方程式が次の3つの条件を満たす時の定数mの範囲を求めよ。
\begin{eqnarray}
x^2+mx+1=0\tag{式4.1}\\
x^2-2mx+3m=0\tag{式4.2}
\end{eqnarray}
(1)共に虚数解
(2)少なくとも一方が虚数解
(3)一方だけが虚数解
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解答

問1の解答 分母を揃える

分母を揃えて和の計算をするために、1項目の分子分母に1-3iをかけて2項目の分子分母に1+3iをかける。
\begin{eqnarray}
(式1.1)&=&\frac{\left(1-3i\right)^2}{\left(1+3i\right)\left(1-3i\right)}+\frac{\left(1+3i\right)^2}{\left(1+3i\right)\left(1-3i\right)}\\
&=&\frac{\left(1-6i+9i^2\right)+\left(1+6i+9i^2\right)}{1-9i^2}\\
&=&-\frac{8}{5}
\end{eqnarray}

問2の解答 実部と虚部に分ける

式2.1を展開して実部と虚部に分ける。
その後、虚部が0になるようなxを探せば良い。
まず、実部と虚部に分ける。
\begin{eqnarray}
(式2.1)&=&2x+xi+4i+2i^2\\
&=&2\left(x-1\right)+\left(4+x\right)i
\end{eqnarray}
この時、虚部が0になるようなxは-4であることが分かる。
よって、x=-4の時に式2.1は-10の値を取ることが分かる。

問3の解答 判別式を計算する

式3.1の判別式Dを計算する。
そして、判別式Dの正負から解の種類を調べる。
\begin{eqnarray}
D&=&4^2-4・k・2\\
&=&-8k+16\\
&=&-8\left(k-2\right)
\end{eqnarray}
この時、kの値によって判別式Dの正負が変わる。
よって、以下のようにkの値によって式3.1の解の種類が変わる。
\begin{eqnarray}
k& <&2(D>0)の時、実数解が2つ\\
k&=&0(D=0)の時、重解\\
k& >&2(D<0)の時、虚数解が2つ
\end{eqnarray}

問4の解答 2つの方程式の判別式から共通のmの範囲を調べる

最初に式4.1と式4.2の判別式Dを計算して、mの範囲によって変わる解の種類を調べる。
その後、(1)、(2)、(3)を満たすmの範囲を調べる。
まず、式4.1の解の種類によるmの範囲を調べる。
判別式Dは以下の様に計算できる。
\begin{eqnarray}
m^2-4&=&\left(m+2\right)\left(m-2\right)
\end{eqnarray}
よって、解の種類は以下のmの範囲によって変わる。
\begin{eqnarray}
m<-2,2< m(D>0)の時&、&実数解は2つ\\
m=2,-2(D=0)の時&、&重解\\
-2< m < 2(D<0)の時&、&虚数解は2つ
\end{eqnarray}

次に式4.2の判別式を計算する。
判別式Dは以下の様になる。
\begin{eqnarray}
D&=&\left(-2m\right)^2-4・3m\\
&=&4m^2-12m\\
&=&4m\left(m-3\right)
\end{eqnarray}
よって、解の種類は以下のmの範囲によって変わる。
\begin{eqnarray}
m<0,3< m(D >0)の時&、&実数解は2つ\\
m=0,3(D=0)の時&、&重解\\
0< m <3(D<0)の時&、&虚数解は2つ
\end{eqnarray}

この時、式4.1と式4.2が虚数階を取る時のmの範囲は図4.1の様になる。
ここで、(1)、(2)、(3)のそれぞれの場合のmの範囲を調べる。

(1)共に虚数解

図4.1を見た時に、共にmの範囲が虚数解を取る時なのでmの範囲は以下になる。
$$0< m<2$$

(2)少なくとも一方が虚数解

図4.1を見た時にどちらか一方がmの範囲を満たしていれば良いのでmの範囲は以下になる。
$$-2< m<3$$

(3)一方だけが虚数解

図4.1を見た時にどちらか一方だけがmの範囲を満たしている時なので、mの範囲は以下になる。
$$-2< m<0又は2< m<3$$
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