問題
問1
次の方程式を解け。
$$x^4-16=0\tag{式1.1}$$
問2
ωが以下の値を取る時(1の3乗根)、式2.1の値を求めよ。
\begin{eqnarray}
ω=\frac{1+\sqrt{3}i}{2}\\
ω^5+ω^6+ω^7\tag{式2.1}
\end{eqnarray}
問3
以下の方程式がある。
$$x^3-5x^2+ax+b=0\tag{式3.1}$$
この方程式の解の一つが3+2iの時、定数a,bと他の解を求めよ。
解答
問1の解答 虚数解を考える
式1.1を因数分解する。
\begin{eqnarray}
(式1.1)&=&\left(x^2+4\right)\left(x^2-4\right)\\
&=&\left(x^2+2\right)\left(x+2\right)\left(x-2\right)
\end{eqnarray}
ここで、方程式の解が2,-2が存在することは分かる。
次に、x^2+2の因数が0になる時を以下のように考える。
\begin{eqnarray}
x^2+4=0\\
x^2=-4\\
x=\pm\sqrt{2}i
\end{eqnarray}
よって、式1.1の解は以下になる。
$$x=\pm2,\pm\sqrt{2}i$$
問2の解答 簡単にできるところはする
まず、式2.1をω^3で因数分解する。
\begin{eqnarray}
(式2.1)&=&ω^3\left(ω^2+ω^3+ω^4\right)\\
&=&ω^2+1+ω\tag{①}
\end{eqnarray}
以上のことはωが1の三乗根であることを使った。
次にωを代入して計算をする。
\begin{eqnarray}
①&=&1+\frac{1+\sqrt{3}i}{2}+\left(\frac{1+\sqrt{3}i}{2}\right)^2\\
&=&\frac{4+2+2\sqrt{3}i+1+2\sqrt{3}i-3}{4}\\
&=&1+\sqrt{3}i
\end{eqnarray}
問3の解答 共役な複素数は解である
まず、式3.1の係数は実数であるので、解の複素数の共役な複素数も解であることが分かる。
よって、以下が解であることが分かる。
$$x=3-2i$$
分かっている方程式の解で式3.1を因数分解する。
分かっている解は以下である。
$$x=3+2i,3-2i$$
ここで式3.1の解の一つをkとする。
kを使うと以下のように式を展開する事ができる。
\begin{eqnarray}
\left(x-k\right)\left(x-3-2i\right)\left(x-3+2i\right)&=&\left(x-k\right)\left(x^2-6x+13\right)\\
&=&x^3-\left(6+k\right)+\left(6k+13\right)-13k\tag{②}
\end{eqnarray}
ここで、式3.1と②の係数を比較すると以下の関係が求められる。
\begin{eqnarray}
-5&=&-6-k\\
a&=&6k+13\\
b&=&-13k
\end{eqnarray}
これらのことからa,b,kは以下のように求められる。
\begin{eqnarray}
k&=&-1\\
a&=&7\\
b&=&13
\end{eqnarray}
kが求められたことで式3.1の解は-1であることが分かる。
まとめると、求める解と定数a,bは以下のようになる。
\begin{eqnarray}
(他の解)&=&3-2i,-1\\
a&=&7\\
b&=&13
\end{eqnarray}
