因数分解の問題

問題

以下の式を因数分解せよ。

問1

$$x^2+5x+6$$

問2

$$x^2-y^2-2x+1$$

問3

$${(x^2-2x)}^2+3(x^2-2x)-18$$

問4

$$a^4+2a^2{b}^2+9b^4$$
【因数分解の解説はこちら】

解答

問1の解答　基本的な因数分解

xの係数が5であり残りが6なので、2つの数の和が5になり積が6になる2つの数を探せば良い。
この場合は2と3になる。
よって解答は以下になる。
$$(x+2)(x+3)$$

問3の解答　一つの文字に注目してできるところまで因数分解

最初にxに注目する。
すると以下の様に書ける。
$$x^2-2x+(1-y^2)$$
ここで最後の1-y^2の部分は(1+y)(1-y)と因数分解できる。
よって以下の様に書ける。
$$x^2-2x+(1+y)(1-y)$$
ここで、1+yと1-yにそれぞれ-1をかけてから和を取ると-2になる。
よって、因数分解をすることができる。
解答は以下になる。
$$=(x-1+y)(x-1-y)$$

問3の解答　文字への置き換え

この問題は何の文字の2次式なのかを考える。
ここで、x^2-2xを文字aと置く。
すると、2次式は以下のようになる。
$$a^2+3a-18$$
ここで、aの式として因数分解することができる。
2つの数の和が3となり積が-18となる2つの数は-3,6である。
よってaの式として因数分解すると以下の様になる。
$$(a-3)(a+6)$$
最後にaというのはx^2-2xだったのでaに代入する。
解答は以下になる。
$$(x^2-2x-3)(x^2-2x+6)$$

問4の解答　因数分解できるように係数を合わせる

この問題は2項目の係数に注目する。
係数が2ではなく6であれば因数分解をすることができる。
よって係数を6にする。
以下の左辺を式に足す。
$$4a^2{b}^2-4a^2{b}^2=0$$
これは結局0であるので式に足しても問題ない。
式に足すと以下の様になる。
$$a^4+6a^2{b}^2+9b^4-4a^2{b}^2$$
ここで最初の3項までを因数分解する。
すると以下の様になる。
$${(a^2+3b^2)}^2-4a^2{b}^2$$
ここで、更に式をよく見ると以下の様に2乗－2乗の形になっている。
$${(a^2+3b^2)}^2-{\left(2ab\right)}^2$$
なので、因数分解をすることができる。
解答は以下になる。
$$(a^2+3b^2+2ab)(a^2+3b^2-2ab)$$