問題
以下の式を因数分解せよ。
問1
$$x^2+5x+6$$
問2
$$x^2-y^2-2x+1$$
問3
$$\left(x^2-2x\right)^2+3\left(x^2-2x\right)-18$$
問4
$$a^4+2a^2b^2+9b^4$$
【因数分解の解説はこちら】
解答
問1の解答 基本的な因数分解
xの係数が5であり残りが6なので、2つの数の和が5になり積が6になる2つの数を探せば良い。
この場合は2と3になる。
よって解答は以下になる。
$$\left(x+2\right)\left(x+3\right)$$
問3の解答 一つの文字に注目してできるところまで因数分解
最初にxに注目する。
すると以下の様に書ける。
$$x^2-2x+\left(1-y^2\right)$$
ここで最後の1-y^2の部分は(1+y)(1-y)と因数分解できる。
よって以下の様に書ける。
$$x^2-2x+\left(1+y\right)\left(1-y\right)$$
ここで、1+yと1-yにそれぞれ-1をかけてから和を取ると-2になる。
よって、因数分解をすることができる。
解答は以下になる。
$$=\left(x-1+y\right)\left(x-1-y\right)$$
問3の解答 文字への置き換え
この問題は何の文字の2次式なのかを考える。
ここで、x^2-2xを文字aと置く。
すると、2次式は以下のようになる。
$$a^2+3a-18$$
ここで、aの式として因数分解することができる。
2つの数の和が3となり積が-18となる2つの数は-3,6である。
よってaの式として因数分解すると以下の様になる。
$$\left(a-3\right)\left(a+6\right)$$
最後にaというのはx^2-2xだったのでaに代入する。
解答は以下になる。
$$\left(x^2-2x-3\right)\left(x^2-2x+6\right)$$
問4の解答 因数分解できるように係数を合わせる
この問題は2項目の係数に注目する。
係数が2ではなく6であれば因数分解をすることができる。
よって係数を6にする。
以下の左辺を式に足す。
$$4a^2b^2-4a^2b^2=0$$
これは結局0であるので式に足しても問題ない。
式に足すと以下の様になる。
$$a^4+6a^2b^2+9b^4-4a^2b^2$$
ここで最初の3項までを因数分解する。
すると以下の様になる。
$$\left(a^2+3b^2\right)^2-4a^2b^2$$
ここで、更に式をよく見ると以下の様に2乗－2乗の形になっている。
$$\left(a^2+3b^2\right)^2-\left(2ab\right)^2$$
なので、因数分解をすることができる。
解答は以下になる。
$$\left(a^2+3b^2+2ab\right)\left(a^2+3b^2-2ab\right)$$
