問題
問1
次に計算をせよ。
$$\frac{x^2}{x-1}✕\frac{x^2}{2x}\tag{式1.1}$$
問2
次の計算をせよ。
$$\frac{x^2-y^2}{x^2-2xy+y^2}÷\frac{x^2+xy}{x-y}\tag{式2.1}$$
問3
次の計算をせよ。
$$\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x-2}+\frac{1}{\left(x-1\right)\left(x-3\right)}\tag{式3.1}$$
問4
以下の式を簡単にせよ。
$$\frac{\frac{1}{1-x}+\frac{1}{1+x}}{\frac{1}{1-x}-\frac{1}{1+x}}\tag{式4.1}$$
問5
x+1/x=3の時、以下の式を計算せよ。
$$x^3+\frac{1}{x^3}$$
解答
問1の解答 約分する
それぞれの分子分母を因数分解して約分をする。
\begin{eqnarray}
(式1.1)&=&\frac{x^2}{x-1}✕\frac{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}{2x}\\
&=&\frac{1}{2}x\left(x+1\right)
\end{eqnarray}
問2の解答 分子分母の入れ替えに注意
それぞれの分子分母を因数分解して約分をする。
この時、後の方の分数の逆数をかけることに注意する。
\begin{eqnarray}
(式2.1)&=&\frac{\left(x+y\right)\left(x-y\right)}{\left(x-y\right)^2}✕\frac{x-y}{x\left(x+y\right)}\\
&=&\frac{1}{x}
\end{eqnarray}
問3の解答 分母をあわせる
最初に2つ目までの項の分数の分母を合わせる。
\begin{eqnarray}
(式3.1)&=&\frac{\left(x-2\right)-\left(x-1\right)}{\left(x-1\right)\left(x-2\right)}+\frac{1}{\left(x-1\right)\left(x-3\right)}\\
&=&-\frac{1}{\left(x-1\right)\left(x-2\right)}+\frac{1}{\left(x-1\right)\left(x-3\right)}\tag{①}
\end{eqnarray}
最後に残った2つの項の分数の分母を合わせる。
\begin{eqnarray}
①&=&\frac{-\left(x-3\right)+\left(x-2\right)}{\left(x-1\right)\left(x-2\right)\left(x-3\right)}\\
&=&\frac{1}{\left(x-1\right)\left(x-2\right)\left(x-3\right)}
\end{eqnarray}
問4の解答 分子分母の分数を解消する
分子分母に(1-x)(1+x)をかける。
\begin{eqnarray}
(式4.1)&=&\frac{\frac{1}{1-x}+\frac{1}{1+x}}{\frac{1}{1-x}-\frac{1}{1+x}}✕\frac{\left(1-x\right)\left(1+x\right)}{\left(1-x\right)\left(1+x\right)}\\
&=&\frac{\left(1+x\right)+\left(1-x\right)}{\left(1+x\right)-\left(1-x\right)}\\
&=&\frac{1}{x}
\end{eqnarray}
問5の解答 与えられた値を3乗する
x+1/x=3を3乗すると以下になる。
\begin{eqnarray}
\left(x+\frac{1}{x}\right)^3&=&x^3+3x^2\frac{1}{x}+3x\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^3}\\
&=&x^3+\frac{1}{x^3}+3\left(x+\frac{1}{x}\right)\\
&=&27\tag{②}
\end{eqnarray}
②はx^3+1/x^3の式に直すことができる。
直すと以下になる。
\begin{eqnarray}
②&=&27-3\left(x+\frac{1}{x}\right)\\
&=&27-3✕3\\
&=&18\\
\end{eqnarray}
