数学Ⅱ

直線と円の方程式

内分点と外分点

内分

点\(A(x_1,y_1)\)と点\(B(x_2,y_2)\)を\(m:n\)に内分する点\(P(P_x,P_y)\)の座標は以下のように計算できる。
$$(P_x,P_y)=(\frac{nx_1+mx_2}{m+n},\frac{ny_1+my_2}{m+n})$$

図1 点A,Bをm:nに内分する点P図1 点A,Bをm:nに内分する点P

外分

点\(A(x_1,y_1)\)と点\(B(x_2,y_2)\)を\(m:n\)に外分する点\(P(P_x,P_y)\)の座標は以下のように計算できる。
$$(P_x,P_y)=(\frac{-nx_1+mx_2}{m-n},\frac{-ny_1+my_2}{m-n})$$

図2 点A,Bをm:nに外分する点P図2 点A,Bをm:nに外分する点P

直線の方程式

傾きの求め方

2点\((x_1,y_1),(x_2,y_2)\)を通る直線の傾き\(m\)は以下のように計算できる。
$$m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$$
直線の傾きは\(x\)の変化による\(y\)の変化量なので、傾きが以上のように計算できることは自明である。

図3 点(x1,y1)と点(x2,y2)を通る直線の傾き図3 点(x1,y1)と点(x2,y2)を通る直線の傾き

また、2つの直線を比べた時に互いに平行である時と垂直であるときで以下のような関係を満たす。
\begin{eqnarray}
m_1=m_2 並行\\
\\
m_1m_2=-1 垂直
\end{eqnarray}

切片の求め方

2点\((x_1,y_1),(x_2,y_2)\)を通る直線の傾きが\(m\)の時、その直線を求める式は以下である。
$$y-y_1=m\left(x-x_1\right)$$
直線の方程式を以上の式で求められる理由を説明する。
最初に傾き\(m\)で原点を通る直線\(y=mx\)を考える。
\(y=mx\)と2点\((x_1,y_1),(x_2,y_2)\)を通る直線は共に傾きが\(m\)なので平行であることが分かる。
そして、2点\((x_1,y_1),(x_2,y_2)\)を通る直線は\(y=mx\)を\(x\)方向に\(x_1\)、\(y\)方向に\(y_1\)だけ平行移動させた直線である。
よって、\(y=mx\)の\(y\)と\(x\)にそれぞれ\(y_1\)と\(x_1\)を引くことで2点\((x_1,y_1),(x_2,y_2)\)を通る直線の方程式を求めることができる。

図4 直線y=mxの原点から点(x1,y1)にずらした直線y-y1=m(x-x1)図4 直線y=mxの原点から点(x1,y1)にずらした直線y-y1=m(x-x1)

点と直線の距離

点\((x_1,y_1)\)と直線\(ax+by+c=0\)の距離\(d\)は以下の式で求められる。
$$d=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$$

円の方程式

円の方程式は以下の様に表せる。
$$\left(x-a\right)^2+\left(y-b\right)^2=r^2$$
この時、\((a,b)\)が円の中心となり、\(r\)が円の半径となる。

図5 中心が(a,b)、半径がrの円図5 中心が(a,b)、半径がrの円

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