極限値
関数\(f(x)\)において\(x\)が\(a\)と異なる値を取りながら\(a\)に限りなく近づく時、\(f(x)\)が一定の値\(\alpha\)に限りなく近づくならば\(\alpha\)を\(x\)が\(a\)に限りなく近づく時の\(f(x)\)の極限値と呼ぶ。
数式で書くと以下のように書く。
\begin{eqnarray}
\lim_{x \to a}f(x)=α
\end{eqnarray}
例)
\(f(x)=x-2\)の時
\begin{eqnarray}
\lim_{x \to 2}f(x)=0
\end{eqnarray}
微分
微分の定義
関数\(f(x)\)の微分した関数\(f'(x)(=\frac{df(x)}{dx})\)は以下である。
\begin{eqnarray}
f^{\prime}(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\tag{式1.1}
\end{eqnarray}
この\(f'(x)\)の関数を導関数と呼ぶ。
導関数のイメージは図1.1のグラフを見ると分かる。
図1.1 関数f(x)の微分を視覚的に表したグラフ関数\(f(x)\)上にある\(f(x+h)\)と\(f(x)\)の差をそれぞれのxの差であるhで割る。
これはf(x)の平均変化率の定義と同じである。
この時、hを限りなく0に近づけることである点xにおけるxの変化によるf(x)の変化率を調べることができる。
ここで、x=aの時導関数f'(a)は(a,f(a))での接線の傾きになる。
微分の公式
実際に関数f(x)の微分について見ていく。
$$f(x)=x^n$$
\begin{eqnarray}
\left(x^n\right)^{\prime}=nx^{n-1}
\end{eqnarray}
このべき乗関数の微分について微分の定義(式1.1)に則って計算してみる。
\begin{eqnarray}
f^{\prime}(x)&=&\lim_{h \to 0}\frac{\left(x+h\right)^n-x^n}{h}\\
\\
&=&\lim_{h \to 0}\frac{1}{h}(x^n+{}_n C_1x^{n-1}h+{}_nC_2x^{n-2}h^2+\cdots\\
&&\cdots+h^n-x^n)\\
\\
&=&\lim_{h \to 0}{}_nC_1x^{n-1}+h({}_nC_2x^{n-2}h+\cdots\\
&&\cdots+h^{n-1})\\
\\
&=&nx^{n-1}
\end{eqnarray}
$$定数C$$
\begin{eqnarray}
\left(C\right)^{\prime}=0
\end{eqnarray}
この定数Cの微分について微分の定義(式1.1)に則って計算してみる。
\begin{eqnarray}
f^{\prime}(x)&=&\lim_{h \to 0}\frac{C-C}{h}\\
&=&0
\end{eqnarray}
導関数の定数倍と和と差
\begin{eqnarray}
\left(kf(x)\right)^{\prime}&=&k\left(f(x)\right)\\
\\
\left(f(x)+g(x)\right)^{\prime}&=&f^{\prime}(x)+g^{\prime}(x)\\
\\
\left(f(x)-g(x)\right)^{\prime}&=&f^{\prime}(x)-g^{\prime}(x)
\end{eqnarray}
関数f(x)の増減と極大、極小
関数の増減
f'(x)>0の範囲でのxではf(x)は増加する。
f'(x)<0の範囲でのxではf(x)は減少する。
極大、極小とは
f'(x)の符号がf'(a)の前後で正から負へ変わる時、x=aで極大を取り、f'(a)を極大値と呼ぶ。
この時、以下を満たす。
\begin{eqnarray}
f^{\prime}(a)=0
\end{eqnarray}
f'(x)の符号がf'(a)の前後で負から正へ変わる時、x=aで極小を取り、f'(a)を極小値と呼ぶ。
この時、以下を満たす。
\begin{eqnarray}
f^{\prime}(a)=0
\end{eqnarray}
