積分法

不定積分

公式

積分の定義

\(F'(x)=f(x)\)の時
\begin{eqnarray}
\int f(x)dx=F(X)+C\\
(Cは定数)
\end{eqnarray}

べき乗関数の積分

\begin{eqnarray}
\int x^ndx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C
\end{eqnarray}

不定積分の性質

\(F'(x)=f(x),G(x)=g(x)\)の時
\begin{eqnarray}
\int kf(x)dx&=&k\int f(x)dx\\
\\
\int {f(x)\pm g(x)}dx&=&F(x)\pm G(x)+C
\end{eqnarray}

定積分

公式

定積分の定義

\(F'(x)=f(x)\)の時
\begin{eqnarray}
\int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)
\end{eqnarray}
定積分を図で表すと図1.1の様になる。

まず、関数\(f(x)\)を積分範囲である\(x=a\)から\(x=b\)まで範囲を考える。
\(x=a\)から\(x=b\)までを\(x\)について限りなく0に近い幅である\(dx\)で均等に分割する。
すると、\(x\)軸と関数\(f(x)\)の間に無数の長方形が\(x=a\)から\(x=b\)の間にできる。
この長方形の一つ一つの面積は\(f(x)dx\)である。
この無数の長方形の面積を足し合わせる事が積分という作業であり、積分を計算した結果は\(x\)軸と関数\(f(x)\)の間の面積になる。

定積分の性質

\begin{eqnarray}
\int_{a}^{b}kf(x)dx&=&k\int_{a}^{b}f(x)dx\\
\\
\int_{a}^{b}{f(x)\pm g(x)}dx&=&\int_{a}^{b}f(x)dx\pm\int_{a}^{b}g(x)dx\\
\\
\int_{a}^{a}f(x)dx&=&0\\
\\
\int_{a}^{b}f(x)dx&=&-\int_{b}^{a}f(x)dx\\
\\
\int_{a}^{b}f(x)dx&=&\int_{a}^{c}f(x)dx+\int_{c}^{b}f(x)dx
\end{eqnarray}

面積の求め方

図1.2の濃い青の範囲の面積Sを考える。

\(a\leq x\leq b\)では\(f(x)\leq0\)なので積分結果にマイナスをかける必要がある。
\begin{eqnarray}
S=-\int_{a}^{b}f(x)dx
\end{eqnarray}

図1.3の濃い青の範囲の面積Sを考える。

\(a\leq x\leq b\)の範囲では\(f(x)\geq g(x)\)なので\(f(x)-g(x)\)の積分を行う。
\begin{eqnarray}
\int_{a}^{b}{f(x)-g(x)}dx
\end{eqnarray}

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