問題
問1
以下の三角形において辺ABの長さをa,θを用いて表わせ。
問2
cosが以下の値を取る時、sin,tanの値を求めよ。
\begin{eqnarray}
\cosθ=\frac{5}{13}\\
(0°\leq θ \leq90°)
\end{eqnarray}
問3
sinが以下の値を取る時、cos,tanの値を求めよ。
\begin{eqnarray}
\sinθ=\frac{5}{6}\\
(0°\leq θ \leq180°)
\end{eqnarray}
問4
sinとcosが以下の関係を満たす時sinθcosθの値を求めよ。
\begin{eqnarray}
\sinθ+\cosθ=\frac{1}{2}\tag{式4.1}\\
(0°\leq θ \leq 180°)
\end{eqnarray}
問5
以下の不等式を満たすθの範囲を求めよ。
\begin{eqnarray}
\cosθ>\frac{\sqrt{3}}{2}\\
(0°\leq θ \leq 180°)
\end{eqnarray}
解答
問1の解答 三角比を考える
辺ABの長さは三角比の関係から以下の様に表せる。
\begin{eqnarray}
AB=a\cosθ
\end{eqnarray}
問2の解答 三角比の関係式を考える
以下の三角比の関係式を用いる。
$$\sin^2θ+\cos^2θ=1\tag{式2.1}$$
式2.1からsinを求めると以下になる。
\begin{eqnarray}
\sinθ&=&\pm\sqrt{1-\cos^2θ}\\
&=&\pm\sqrt{1-\left(\frac{5}{13}\right)^2}\\
&=&\pm\sqrt{\frac{169-25}{169}}\\
&=&\pm\frac{12}{13}
\end{eqnarray}
ここでθの範囲は鋭角なのでsinは正しか取らないことが分かる。
よって、sinθは以下である。
$$\sinθ=\frac{23}{13}$$
次にtanを求める。
tanは以下のsin,conを用いて以下の様に表せた。
$$\tanθ=\frac{\sinθ}{\cosθ}$$
よって、tanθは以下になる。
\begin{eqnarray}
\tanθ&=&\frac{\frac{12}{13}}{\frac{5}{13}}\\
&=&\frac{12}{5}
\end{eqnarray}
問3の解答 θの範囲に注意
以下の三角比の関係式を用いる。
$$\sin^2θ+\cos^2θ=1\tag{式3.1}$$
式3.1からcosを求めると以下になる。
\begin{eqnarray}
\cosθ&=&\pm\sqrt{1-\sin^2θ}\\
&=&\pm\sqrt{1-\left(\frac{5}{6}\right)^2}\\
&=&\pm\sqrt{\frac{36-25}{36}}\\
&=&\pm\frac{\sqrt{11}}{6}
\end{eqnarray}
ここで、θの範囲からcosθは正負どちらも取ることが分かる。
よってcosθは以上で求めた値となる。
次にtanを求める。
tanは以下のsin,conを用いて以下の様に表せた。
$$\tanθ=\frac{\sinθ}{\cosθ}$$
よって、tanθは以下になる。
\begin{eqnarray}
\tanθ&=&\frac{\frac{5}{6}}{\frac{\pm\sqrt{11}}{6}}\\
&=&\pm\frac{5}{\sqrt{11}}
\end{eqnarray}
問4の解答 三角比の関係式を2乗する
最初に式4.1の両辺を2乗すると以下になる。
\begin{eqnarray}
\left(\sinθ+\cosθ\right)^2&=&\sin^2θ+2\sinθ\cosθ+\cos^2θ\\
&=&1+2\sinθ\cosθ\\
&=&\frac{1}{2}
\end{eqnarray}
よって、sinθcosθの形に変形すると以下になる。
$$\sinθ\cosθ=-\frac{3}{8}$$
問5の解答 単位円を考える
まず図5.1のような単位円を考える。
単位円上の点Aと原点Oを結ぶ直線rとx軸がなす角をφとする。
この時、φのなす角が30°の時cosφは以下になる。
$$\cosφ=\frac{\sqrt{3}}{2}$$
次にcosの表し方を考える。
cosθは以下の様に表すことができた。
$$\cosθ=\frac{x}{r}$$
ここで、図5.1からr=1なのでcosθ=xとなる。
つまり、θの範囲はx=√3/2よりも右側の単位円の範囲ということになる。
よって、不等式を満たすθの範囲は以下になる。
$$0\leq θ <30°$$
