解と係数の関係
二次方程式の係数と解の間には以下の関係が成り立つ。
\begin{eqnarray}
α+β=-\frac{b}{a}\\
αβ=\frac{c}{a}
\end{eqnarray}
この時、α,βは二次方程式の解であり、a,b,cは以下の二次方程式の係数である。
$$ax^2+bx+c=0$$
この解と係数の関係について考える。
二次方程式の解を解の公式で求めると以下になる。
$$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$
ここで、2つの二次方程式の解をそれぞれα,βとすると以下の値はそれぞれこのように計算できる。
\begin{eqnarray}
α+β&=&\frac{\left(-b+\sqrt{b^2-4ac}\right)+\left(-b-\sqrt{b^2-4ac}\right)}{2a}\\
&=&\frac{-2b}{2a}\\
&=&-\frac{b}{a}
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
αβ&=&\left(\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\right)\left(\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\right)\\
&=&\frac{\left(-b\right)^2-\left(\sqrt{b^2-4ac}\right)^2}{4a^2}\\
&=&\frac{4ac}{4a^2}\\
&=&\frac{c}{a}
\end{eqnarray}
よって、二次方程式の解と係数の間には普遍的な関係がある。
二次式の因数分解
二次式の因数分解の方法について述べる。
二次式が0を取る時の二次方程式の解をα,βとする。
この時、二次式は以下のように書くことができる。
$$ax^2+bx+c=a\left(x-α\right)\left(x-β\right)$$
この時、右辺を式展開すると以下の様になる。
$$a\left(x-α\right)\left(x-β\right)=ax^2-a\left(α+β\right)+aαβ$$
ここで、二次方程式と比べてみると以下のように前章で紹介した解と係数の関係を満たすことが分かる。
\begin{eqnarray}
b&=&-a\left(α+β\right)\\
c&=&aαβ
\end{eqnarray}
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