導関数の方程式への応用の問題

問題

問1

以下の三次方程式をグラフを用いて解け。
$$\begin{array}{r}{x}^3-x\le 0\end{array}$$

【解答はこちら】

問2

以下の方程式が3つの実数解を持つ時、定数aの値を求めよ。
$$\begin{array}{r}2x^3-9x+a=0\end{array}$$
【解答はこちら】

問3

1>xの時以下の不等式が成り立つことを証明せよ。
$$\begin{array}{r}{x}^3-6x^2+13x-8>0\end{array}$$

【解答はこちら】

問4

全ての正の数xに対して以下の不等式を満たすような定数aの最小値を求めよ。
$$\begin{array}{r}a{x}^3-3x^2+1\ge 0\end{array}$$

【解答はこちら】

【導関数の解説はこちら】

解答

問1の解答　増減表からグラフを描く

【問題はこちら】

以下の様にf(x)を置く。
$$f(x)=x^3-x$$
ここで導関数f'(x)を求める。
$$\begin{array}{r}{f}^{\prime }(x)=3x^2+1\end{array}$$
ここで導関数が0の時を調べる。
$$\begin{array}{rcl}{f}^{\prime }(x)& =& 3x^2-1\\ & =& 0\\ \\ x=\pm \frac{1}{\sqrt{3}}\end{array}$$
よって、関数f(x)の増減表は以下となる。

$$x$$	$$\cdots$$	$$-1$$	$$\cdots$$	$$-\frac{1}{\sqrt{3}}$$	$$\cdots$$	$$0$$	$$\cdots$$	$$\frac{1}{\sqrt{3}}$$	$$\cdots$$	$$1$$	$$\cdots$$
$$f^{\prime }(x)$$	$$+$$	$$+$$	$$+$$	$$0$$	$$-$$	$$-$$	$$-$$	$$0$$	$$+$$	$$+$$	$$+$$
$$f(x)$$	$$<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="\nearrow "\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/13.1.0/svg/2197.svg">$$	$$0$$	$$<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="\nearrow "\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/13.1.0/svg/2197.svg">$$	$$\frac{2\sqrt{3}}{9}$$	$$<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="\searrow "\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/13.1.0/svg/2198.svg">$$	$$0$$	$$<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="\searrow "\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/13.1.0/svg/2198.svg">$$	$$-\frac{2\sqrt{3}}{9}$$	$$<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="\nearrow "\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/13.1.0/svg/2197.svg">$$	$$0$$	$$<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="\nearrow "\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/13.1.0/svg/2197.svg">$$

よって、関数f(x)は図1.1の様になる。

よって、不等式を満たす範囲はこの関数f(x)が負になる範囲である。
よって、xの範囲は以下である。
$$\begin{array}{r}x\le -1,0\le x\le 1\end{array}$$

問2の解答　極大値と極小値の範囲を考える

【問題はこちら】

まず、f(x)を以下の様に置く。
$$f(x)=2x^3-9x^2+a$$
ここで、導関数f'(x)を求める。
$$f^{\prime }(x)=6x^2-18x$$
導関数f'(x)が0の時を考える。
$$\begin{array}{rcl}{f}^{\prime }(x)& =& 6x(x-3)\\ & =& 0\\ \\ x=0,3\end{array}$$
よって、関数f(x)の増減表は以下となる。

$$x$$	$$\cdots$$	$$0$$	$$\cdots$$	$$3$$	$$\cdots$$
$$f^{\prime }(x)$$	$$+$$	$$0$$	$$-$$	$$0$$	$$+$$
$$f(x)$$	$$<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="\nearrow "\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/13.1.0/svg/2197.svg">$$	$$a$$	$$<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="\searrow "\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/13.1.0/svg/2198.svg">$$	$$a-27$$	$$<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="\nearrow "\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/13.1.0/svg/2197.svg">$$

よって、関数f(x)は図2.1の様になる。

この時、式2.1の方程式が3つの実数解を持つ時、極大値が正であり極小値が負である必要がある。
よって、定数aは以下の条件を満たす必要がある。
$$\begin{array}{r}0<a\\ \\ a-27<0\\ \downarrow \\ 0<a<27\end{array}$$
式2.1の方程式が3つの実数解を持つためには定数aは以上の範囲を満たす必要がある。

問3の解答　f'(x)からf(x)が増加関数であることを示す

【問題はこちら】

関数f(x)を以下のように置く。
$$f(x)=x^3-6x^2+13x-8$$
導関数f'(x)を求める。
$$\begin{array}{rcl}{f}^{\prime }(x)& =& 3x^2-12+13\\ \text{(式3.1)}& & =& 3{(x-2)}^2+1\end{array}$$
式3.1からf'(x)はxの値の依らず正の値を取ることが分かる。
つまり、関数f(x)は増加関数であることが分かる。

次にx=1の時の関数f(x=1)を考える。
$$\begin{array}{r}f(x=1)=0\end{array}$$
ここで、関数f(x)は増加関数であるのでxが1以上の時関数f(x)は0以上であることが分かる。
よって、不等式を証明することができた。

問4の解答　最小値が正になるときを考える

【問題はこちら】

関数f(x)を以下のように置く。
$$\begin{array}{r}f(x)=a{x}^3-3x^2+1\end{array}$$
導関数f'(x)を求める。
$$\begin{array}{r}{f}^{\prime }(x)=3a{x}^2-6x\end{array}$$
ここで、f'(x)が0の時を考える。
$$\begin{array}{rcl}{f}^{\prime }(x)& =& 3x(ax-2)\\ & =& 0\\ \\ x=0,\frac{2}{a}\end{array}$$
よって、関数f(x)の増減表は以下となる。

$$x$$	$$0$$	$$\cdots$$	$$\frac{2}{a}$$	$$\cdots$$
$$f^{\prime }(x)$$	$$0$$	$$-$$	$$0$$	$$+$$
$$f(x)$$	$$1$$	$$<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="\searrow "\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/13.1.0/svg/2198.svg">$$	$$1-\frac{4}{a^2}$$	$$<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="\nearrow "\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/13.1.0/svg/2197.svg">$$

よって、増減表から関数f(x)は図4.1の様になる。

この時、関数f(x)が全てのxに対して不等式を満たす時は最小値が0以上であることが必要である。
関数f(x)の最小値は極小値であり、以下である。
$$\begin{array}{r}\mathrm{最}\mathrm{小}\mathrm{値}:1-\frac{4}{a^2}\end{array}$$
この最小値が0以上でなければならない。
$$\begin{array}{r}1-\frac{4}{a^2}\ge 0\\ \\ (1+\frac{2}{a})(1-\frac{2}{a})\ge 0\end{array}$$
ここで、a>0なので1+2/aは常に正である事が分かる。
よって、1-2/aが0以上である必要がある。
$$\begin{array}{r}1-\frac{2}{a}\ge 0\\ \downarrow \\ a\ge 2\end{array}$$
よって、全てのxに対して不等式を満たすような定数aの最小値は2である。

【導関数の解説はこちら】