本記事では、ベクトルについて説明する。
ベクトルとは大きさと方向を持つ数である。
今までは、大きさだけを持つスカラー量を扱ってきたが、ベクトルという考え方を導入することで座標や関数を表したりして計算の幅が広がる。
また、ベクトルを計算する上で重要なことが内積である。
ベクトルは物理学を考える上では欠かせないものになるので理解してほしい。
ベクトルとは
ベクトルとはなにかということについて説明する。
ベクトルとは大きさと方向を持つ数である。
図のように点\(A,B\)があるとする。
ここで、点\(A\)から点\(B\)に向かって矢印を用いて繋いだとする。
この時の矢印をベクトルと呼び、\(\overrightarrow{AB}\)と表す。
また、点\(A\)を始点、点\(B\)を終点と呼ぶ。
ここで注目してほしいことは、ベクトルは始点と終点のみで決まるということである。
始点\(A\)からどのような経路を取っても終点が\(B\)なのであれば、どんなベクトルでも\(\overrightarrow{AB}\)である。
ベクトル\(\overrightarrow{AB}\)の大きさは点\(A\)と点\(B\)の最短距離であり、方向は点\(A\)から点\(B\)に向かって直線で結んだ時の矢印の方向になる。
今までは、大きさだけを持つ数、スカラー量だけを扱ってきた。
以下にベクトル量とスカラー量の違いを記す。
\begin{eqnarray}
ベクトル量\\
\overrightarrow{a}=\left(\begin{array}{c}a_x\\a_y\end{array}\right)\\
\\
スカラー量\\
a_x,a_y
\end{eqnarray}
ベクトルを用いた座標表示
本章ではベクトルを用いて2次元(もしくは3次元)の座標を表す方法について説明する。
図のように\(xy\)平面上に点\(A(a_x,a_y)\)がある。
この時、原点\(O\)を始点、点\(A\)を終点とするとベクトル\(\overrightarrow{OA}\)は以下のように表せる。
\begin{eqnarray}
\overrightarrow{OA}=\left(\begin{array}{c}
a_x\\
a_y
\end{array}\right)
\end{eqnarray}
では、ベクトルの持つ特徴である大きさと方向について考える。
方向については、\(x\)軸とベクトル\(\overrightarrow{OA}\)とのなす角度を\(\theta\)とすれば、角度\(\theta\)がベクトル\(\overrightarrow{OA}\)の方向を決めることになる。
大きさについては、原点\(O\)と点\(A\)の距離を求めることであり、点\(A\)の成分である\(a_x,a_y\)を三平方の定理を用いると以下のように表せる。
\begin{eqnarray}
|\overrightarrow{OA}|=\sqrt{a_x^2+a_y^2}
\end{eqnarray}
このように、\(xy\)平面上の点をベクトルで表すことができ、ベクトルの特徴である大きさと方向についてもベクトルの成分を用いて表すことができる。
ベクトルの足し算、引き算
ベクトルの足し算と引き算について説明する。
足し算
図のように点\(O,A,B\)がある。
ここで、ベクトル\(\overrightarrow{OB}\)は始点が\(O\)であり、終点が\(B\)であればどのような経路を取っても構わないことは前述した通りである。
よって、点\(O\)から点\(A\)を経由してから点\(B\)に向かったベクトルも\(\overrightarrow{OB}\)である。
つまり、点\(O\)から点\(A\)に向かうベクトルを\(\overrightarrow{OA}\)として、点\(A\)から点\(B\)までのベクトルを\(\overrightarrow{AB}\)とすると、以下のように表すことができる。
\begin{eqnarray}
\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}
\end{eqnarray}
このようにベクトルの足し算を表すことができる。
引き算
負のベクトルについて考える。
図のようにベクトル\(\overrightarrow{AB}\)のマイナスは\(-\overrightarrow{AB}\)となる。
ここで、\(-\overrightarrow{AB}\)は\(\overrightarrow{AB}\)の大きさそのままで、方向が180度逆方向を向いているベクトルである。
つまり、\(-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AB’}\)となる。
よって、以下のことが成立する。
\begin{eqnarray}
\overrightarrow{OB’}&=&\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB’}\\
\\
&=&\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{AB}
\end{eqnarray}
このようにベクトルの引き算を表すことができる。
ベクトルの成分毎の足し算と引き算と掛け算
まず、最初にベクトルの定数倍を説明する。
ベクトル\(\overrightarrow{a}=\left(\begin{array}{c}a_x\\a_y\end{array}\right)\)の定数倍\(c\)は以下になる。
\begin{eqnarray}
c\overrightarrow{a}=\left(\begin{array}{c}ca_x\\ca_y\end{array}\right)
\end{eqnarray}
次にベクトルの足し算と引き算について説明する。
\(xy\)平面上の2つのベクトル\(\overrightarrow{a}=\left(\begin{array}{c}a_x\\a_y\end{array}\right),\overrightarrow{b}=\left(\begin{array}{c}b_x\\b_y\end{array}\right)\)の足し算と引き算について考える。
ここで、2つのベクトル\(\hat{x}=\left(\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right),\hat{y}=\left(\begin{array}{c}0\\1\end{array}\right)\)を用いて\(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\)を表すと以下になる。
\begin{eqnarray}
\overrightarrow{a}&=&a_x\hat{x}+a_y\hat{y}\\
\\
\overrightarrow{b}&=&b_x\hat{x}+b_y\hat{y}
\end{eqnarray}
これは、\(\overrightarrow{a}\)は\(x\)方向に\(a_x\)だけ進んだ後に、\(y\)方向に\(a_y\)だけ進んだベクトルということを表している。
ベクトル\(\overrightarrow{b}\)についても同様である。
よって、\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\)を\(x\)成分と\(y\)成分に分けて計算をすると以下になる。
\begin{eqnarray}
\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}&=&\left(a_x+b_x\right)\hat{x}+\left(a_y+b_y\right)\hat{y}\\
\\
&=&\left(\begin{array}{c}a_x+b_x\\
a_y+b_y
\end{array}\right)
\end{eqnarray}
つまり、2つのベクトルの足し算は、成分毎の足し算になる。
また、\(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\)についても同様である。
よって、まとめると以下になる。
\begin{eqnarray}
\overrightarrow{a}\pm\overrightarrow{b}&=&\left(a_x\pm b_x\right)\hat{x}+\left(a_y\pm b_y\right)\hat{y}\\
\\
&=&\left(\begin{array}{c}a_x\pm b_x\\
a_y\pm b_y\end{array}\right)
\end{eqnarray}
また、\(\hat{x},\hat{y}\)の大きさは\(1\)である。
このような\(\hat{x},\hat{y}\)のベクトルのことを基底ベクトルと呼ぶ。
基底ベクトルを用いるとどんな\(xy\)平面上のベクトルでも表すことができる。
内積
本章ではベクトルの内積について説明する。
\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}|\cdot|\overrightarrow{b}|\cos\theta\)
図のように2つのベクトル\(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\)があり、2つのベクトルのなす角度を\(\theta\)とする。
この時、2つのベクトルの内積は以下になる。
\begin{eqnarray}
\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos\theta\tag{1.1}
\end{eqnarray}
ベクトルの内積について考える。
1.1式の右辺の\(|\overrightarrow{b}|\)を左辺に移項すると以下になる。
\begin{eqnarray}
\frac{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|}=|\overrightarrow{a}|\cos\theta
\end{eqnarray}
ここで、\(|\overrightarrow{a}|\cos\theta\)は\(\overrightarrow{a}\)が持つ\(\overrightarrow{b}\)方向の成分を表していることが分かる。
特に、\(|\overrightarrow{b}|=1\)の時、
\begin{eqnarray}
\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}|\cos\theta
\end{eqnarray}
となり、内積が\(\overrightarrow{a}\)が持つ\(\overrightarrow{b}\)方向の成分になる。
以上のようにベクトルの内積は1つのベクトル\(\overrightarrow{a}\)が持つもう一方のベクトル\(\overrightarrow{b}\)の成分の大きさに比例したベクトルである。
また\(\overrightarrow{b}\)の大きさが\(1\)の時は、内積\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}\)自体が1つのベクトル\(\overrightarrow{a}\)が持つもう一方のベクトル\(\overrightarrow{b}\)の成分の大きさを表す。
特に\(\theta=\frac{\pi}{2}\)の時の内積は\(0\)である。
つまり、あるベクトルはもう一方のベクトルの方向成分を持っていないことを示している。
また、ベクトルの内積はベクトルの成分を表しているので、スカラー量であることも分かる。
例
以下の\(xy\)平面上のベクトル\(\overrightarrow{r}\)がある。
\begin{eqnarray}
\overrightarrow{r}&=&\left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right)\\
\\
&=&x\hat{x}+y\hat{y}
\end{eqnarray}
\(\overrightarrow{r}\)の\(x\)成分のみを抜き出そうとしたい時、\(x\)方向であり、かつ大きさが\(1\)のベクトル、つまり\(\hat{x}\)と\(\overrightarrow{r}\)の内積を計算すれば良い。
\(\hat{x}\)と\(\overrightarrow{r}\)の内積は以下になる。
\begin{eqnarray}
\hat{x}\cdot\overrightarrow{r}&=&x\underbrace{\hat{x}\cdot\hat{x}}_{=1}+y\underbrace{\hat{x}\cdot\hat{y}}_{=0}\\
\\
&=&x
\end{eqnarray}
基本的に基底ベクトル(\(\hat{x},\hat{y}以外にもある\))は大きさが\(1\)であるので、任意のベクトルと基底ベクトルとの内積を計算すると、任意のベクトルが持つ基底ベクトルの成分を調べることができる。
\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=a_yb_x+a_xb_y\)
本節では座標系のベクトルの成分を用いてベクトルの内積を計算する。
図のように2つのベクトルがあり、それぞれの成分と内積は以下である。
\begin{eqnarray}
\overrightarrow{a}&=&\left(\begin{array}{c}a_x\\a_y\end{array}\right)\\
\\
\overrightarrow{b}&=&\left(\begin{array}{c}b_x\\b_y\end{array}\right)\\
\\
\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}&=&|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos\theta
\end{eqnarray}
また、\(x\)軸と\(\overrightarrow{a}\)と\(\overrightarrow{b}\)とのなす角度がそれぞれ\(\theta_a,\theta_b\)である時、極座標で表すと以下になる。
\begin{eqnarray}
\overrightarrow{a}&=&|\overrightarrow{a}|\left(\begin{array}{c}\cos\theta_a\\\sin\theta_a\end{array}\right)\\
\\
\overrightarrow{b}&=&|\overrightarrow{b}|\left(\begin{array}{c}\cos\theta_b\\\sin\theta_b\end{array}\right)
\end{eqnarray}
ここで、\(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\)を原点を中心にして\(-\theta_b\)だけ回転させる。
すると、\(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\)の\(x\)成分、\(y\)成分は変わるが、大きさと相対的な方向は変わらないため内積は変化しない。
\(-\theta_b\)だけ回転させた後のベクトルをそれぞれ\(\overrightarrow{a’},\overrightarrow{b’}\)とした時の成分は以下になる。
\begin{eqnarray}
\overrightarrow{a’}&=&\left(\begin{array}{c}a’_x\\a’_y\end{array}\right)\\
\\
&=&|\overrightarrow{a}|\left(\begin{array}{c}\cos\left(\theta_a-\theta_b\right)\\\sin\left(\theta_a-\theta_b\right)\end{array}\right)\\
\\
\overrightarrow{b’}&=&\left(\begin{array}{c}b’_x\\b’_y\end{array}\right)\\
\\
&=&|\overrightarrow{b}|\left(\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right)
\end{eqnarray}
ここで図を見ると、\(\cos\theta=\frac{a’_x}{|\overrightarrow{a}|}\)となっていることが分かる。
\(a’_x\)を極座標表示すると\(a_x=|\overrightarrow{a}|\cos\left(\theta_a-\theta_b\right)\)である。
これを加法定理を用いて計算すると以下になる。
\begin{eqnarray}
a’_x&=&\cos\theta_a\cos\theta_b+\sin\theta_a\sin\theta_b\\
\\
&=&\frac{a_x}{|\overrightarrow{a}|}\frac{b_x}{|\overrightarrow{b}|}+\frac{a_y}{|\overrightarrow{a}|}\frac{b_y}{|\overrightarrow{b}|}
\end{eqnarray}
よって、\(\cos\theta=\cos\left(\theta_a-\theta_b\right)\)なので、\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}\)は以下になる。
\begin{eqnarray}
\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}&=&|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\left(\frac{a_x}{|\overrightarrow{a}|}\frac{b_x}{|\overrightarrow{b}|}+\frac{a_y}{|\overrightarrow{a}|}\frac{b_y}{|\overrightarrow{b}|}\right)\\
\\
&=&a_xb_x+a_yb_y
\end{eqnarray}
よって、2つのベクトルの内積は成分同士の積の和とも表せる。
関数のベクトル表示
1次元の直線
最初に二次元平面上の直線\(l:y=ax+b\)をベクトルを用いて表す。
まず、図のように原点\(O\)から直線\(l\)上までのベクトルを\(\overrightarrow{p}\)とする。
ベクトル\(\overrightarrow{p}\)を直線\(l\)上の任意の\(x\)成分\(x_0\)を用いて表すと以下になる。
\begin{eqnarray}
\overrightarrow{p}&=&\left(\begin{array}{c}
x_0\\
ax_0+b
\end{array}\right)\\
\\
&=&x_0\left(\begin{array}{c}
1\\
a
\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}
0\\
b
\end{array}\right)
\end{eqnarray}
次に、直線\(l\)に平行なベクトルを\(\overrightarrow{q}\)とする。
直線\(l\)とベクトル\(\overrightarrow{q}\)が平行であるということは、ベクトル\(\overrightarrow{q}\)の\(x\)成分と\(y\)成分の比が直線\(l\)の傾きと等しいということである。
よって、\(\overrightarrow{q}\)は以下になる。
\begin{eqnarray}
\overrightarrow{q}&=&\left(\begin{array}{c}
1\\
a
\end{array}\right)
\end{eqnarray}
ここで、\(\overrightarrow{p}\)と\(\overrightarrow{q}\)の定数倍の和を考えると、図より常に常に直線\(l\)上にあることが分かる。
\(\overrightarrow{q}\)の定数倍を\(t\)とすると、\(t\)を任意に取ることで直線\(l\)上の座標を全て表すことができる。
つまり、直線\(l\)を表すベクトルを\(\overrightarrow{l}\)とすると、以下のように表せる。
\begin{eqnarray}
\overrightarrow{l}&=&\overrightarrow{p}+t\overrightarrow{q}\\
\\
&=&\left(x_0+t\right)\left(\begin{array}{c}
1\\
a
\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}
0\\
b
\end{array}\right)\\
\\
&=&t\left(\begin{array}{c}
1\\
a
\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}
0\\
b
\end{array}\right)
\end{eqnarray}
注意してほしいことは、\(x_0,t\)は共に任意の定数なので、それらの和である\(x_0+t\)も任意の定数である。
よって、\(x_0+t\)を新たな定数\(t\)とした。
ここで、注目してほしいことは、変数\(t\)だけで直線上の座標を決めることができるという点である。
言い換えると、直線という一次元を表す場合は変数が一つだけ必要であるということである。
2次元の平面
次に、三次元内での平面\(S:z=ax+by+c\)をベクトルを用いて表す。
まず、図のように原点\(O\)から平面\(S\)上の任意の点までのベクトルを\(\overrightarrow{r}\)とする。
ここで、ベクトル\(\overrightarrow{r}\)は任意の\(x\)成分\(x_0\)と任意の\(y\)成分\(y_0\)を用いて以下のように表せる。
\begin{eqnarray}
\overrightarrow{r}&=&\left(\begin{array}{c}
x_0\\
y_0\\
ax_0+by_0+c
\end{array}\right)\\
\\
&=&x_0\left(\begin{array}{c}
1\\
0\\
a
\end{array}\right)+y_0\left(\begin{array}{c}
0\\
1\\
b
\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}
0\\
0\\
c
\end{array}\right)
\end{eqnarray}
次に、平面\(S\)に平行であり、かつ異なる任意の2つのベクトル\(\overrightarrow{p},\overrightarrow{q}\)を考える。
ここで、平面\(S\)の方程式\(z=ax+by+c\)を見てみる。
すると、\(z\)は\(x\)に対して\(a\)の比率で増加していることが分かる。
また、\(z\)は\(y\)に対して\(b\)の比率で増加していることも分かる。
つまり、\(z\)が\(x\)に対して比率\(a\)で増加しているベクトルと\(z\)が\(y\)に対して比率\(b\)で増加しているベクトルは平面\(S\)に平行であることが分かる。
よって、ベクトル\(\overrightarrow{p},\overrightarrow{q}\)は以下のように表せる。
\begin{eqnarray}
&&\overrightarrow{p}=\left(\begin{array}{c}
1\\
0\\
a
\end{array}\right)\\
\\
&&\overrightarrow{q}=\left(\begin{array}{c}
0\\
1\\
b
\end{array}\right)
\end{eqnarray}
ここで、\(\overrightarrow{r}\)と\(\overrightarrow{p},\overrightarrow{q}\)のそれぞれの定数倍の和を考える。
すると、常に平面\(S\)上の座標を表すことが分かる。
\(\overrightarrow{p}\)の定数倍を\(t\)、\(\overrightarrow{q}\)の定数倍を\(s\)とすると、平面上の座標を表すベクトル\(\overrightarrow{S}\)は以下のように表せる。
\begin{eqnarray}
\overrightarrow{S}&=&\overrightarrow{r}+t\overrightarrow{p}+s\overrightarrow{q}\\
\\
&=&\left(x_0+t\right)\left(\begin{array}{c}
1\\
0\\
a
\end{array}\right)+\left(y_0+s\right)\left(\begin{array}{c}
0\\
1\\
s
\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}
0\\
0\\
c
\end{array}\right)\\
\\
&=&t\left(\begin{array}{c}
1\\
0\\
a
\end{array}\right)+s\left(\begin{array}{c}
0\\
1\\
s
\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}
0\\
0\\
c
\end{array}\right)
\end{eqnarray}
ここで、\(x_0,t,y_0,s\)は任意の定数なので、それらの和も任意の定数である。
よって、\(x_0+t\)を新たな任意の定数\(t\)として、\(y_0+s\)を新たな任意の定数\(s\)とした。
注目してほしいことは、平面上のベクトルを表すために変数\(t,s\)を必要とした。
言い換えれば、二次元を表すためには変数が二つだけ必要になった。
前節の一次元を表すために変数を一つだけ必要としたように、一般的に\(n\)次元を表すためには変数は\(n\)個だけ必要とする。
まとめ
本記事ではベクトルについて説明した。
その内容を以下にまとめる。
- ベクトルとは大きさと方向を持った数である。
- 座標系では、ベクトルを成分を用いて表すことができる。
- ベクトルの内積は片方のベクトルが持つもう片方のベクトル(大きさ1)の成分の大きさを表し、以下の二通りの方法で計算できる。
\begin{eqnarray}
&&\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}|\cdot|\overrightarrow{b}|\cos\theta\\
\\
&&\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=a_yb_x+a_xb_y
\end{eqnarray} - 任意の関数をベクトルを用いて表す時は、それぞれの関数の次元数だけ、変数の個数も必要とする。
今までは数の大きさを考えるスカラー量だけを扱ってきたが、大きさに加えて方向を持つベクトルはスカラー量よりも多くの情報を持っている。
特に、物理学では大きさだけでなく、どの方向に力が加わるか等を考えなければならないので、ベクトルの重要性は高まるだろう。
演習問題
問1
以下のベクトルがある。
\begin{eqnarray}
&&\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}
n_x\\
n_y\\
n_z
\end{array}\right)\\
\\
&&|\overrightarrow{n}|=1
\end{eqnarray}
このベクトル\(\overrightarrow{n}\)に垂直であり、かつ点\((x_1,y_1,z_1)\)を通る平面をベクトル表示せよ。
すると、二つのベクトル\(\overrightarrow{p},\overrightarrow{q}\)と\(\overrightarrow{n}\)は直行しているので、それぞれの内積は\(0\)になる。
つまり、以下の等式が成立する。
\begin{eqnarray}
&&\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{p}=n_xp_x+n_yp_y+n_zp_z=0\\
\\
&&\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{q}=n_xq_x+n_yq_y+n_zq_z=0
\end{eqnarray}
以上の等式から\(p_z,q_z\)は以下のように表せる。
\begin{eqnarray}
&&p_z=-\frac{n_x}{n_z}p_x-\frac{n_y}{n_z}p_y\\
\\
&&q_z=-\frac{n_x}{n_z}q_x-\frac{n_y}{n_z}q_y
\end{eqnarray}
よって、ベクトル\(\overrightarrow{p},\overrightarrow{q}\)は以下のように書き換えられる。
\begin{eqnarray}
\overrightarrow{p}&=&\left(\begin{array}{c}
p_x\\
p_y\\
-\frac{n_x}{n_z}p_x-\frac{n_y}{n_z}p_y
\end{array}\right)\\
\\
&=&p_xn_z\left(\begin{array}{c}
n_z\\
0\\
-n_x
\end{array}\right)+p_yn_z\left(\begin{array}{c}
0\\
n_z\\
-n_y
\end{array}\right)\\
\\
\overrightarrow{q}&=&\left(\begin{array}{c}
q_x\\
q_y\\
-\frac{n_x}{n_z}q_x-\frac{n_y}{n_z}q_y
\end{array}\right)\\
\\
&=&q_xn_z\left(\begin{array}{c}
n_z\\
0\\
-n_x
\end{array}\right)+q_yn_z\left(\begin{array}{c}
0\\
n_z\\
-n_y
\end{array}\right)
\end{eqnarray}
以上のベクトル\(\overrightarrow{p},\overrightarrow{q}\)のそれぞれの定数倍\(t,s\)の和は\(\overrightarrow{n}\)に垂直な平面の傾きを表す。
この平面が\(\overrightarrow{n}\)の方向に自由に動かせるとすると、平面の傾きを表すベクトルと\(\overrightarrow{n}\)の定数倍\(c\)の和が平面のベクトルとなる。
つまり、平面上のベクトルを\(\overrightarrow{S}\)とすると、以下のように表せる。
\begin{eqnarray}
\overrightarrow{S}&=&t\overrightarrow{p}+s\overrightarrow{q}+c\overrightarrow{n}\\
\\
&=&\underbrace{n_z\left(tp_x+sq_x\right)}_{任意の定数なのでtとする}\left(\begin{array}{c}
n_z\\
0\\
-n_x
\end{array}\right)+\underbrace{n_z\left(tp_y+sq_y\right)}_{任意の定数なのでsとする}\left(\begin{array}{c}
0\\
n_z\\
-n_y
\end{array}\right)+c\overrightarrow{n}\\
\\
&=&t\left(\begin{array}{c}
n_z\\
0\\
-n_x
\end{array}\right)+s\left(\begin{array}{c}
0\\
n_z\\
-n_y
\end{array}\right)+c\overrightarrow{n}
\end{eqnarray}
ここで、平面は点\((x_1,y_1,z_1)\)を通ることを思い出す。
すると、\(x,y,z\)成分毎の満たす方程式は以下になる。
\begin{eqnarray}
&&tn_z+cn_x=x_1\\
\\
&&sn_z+cn_y=y_1\\
\\
&&-tn_x-sn_y+cn_z=z_1
\end{eqnarray}
この方程式から\(t,s\)を消去して\(c\)を求めると以下になる。(計算略)
\begin{eqnarray}
c=\frac{n_xx_1+n_yy_1+n_zz_1}{n_x^2+n_y^2+n_z^2}
\end{eqnarray}
ここで、分母は\(|\overrightarrow{n}|^2=1\)である。
また、点\((x_1,y_1,z_1)\)をベクトルを用いて\(\overrightarrow{r_1}=\left(\begin{array}{c}x_1\\y_1\\z_1\end{array}\right)\)と表すと以下のように書き換えられる。
\begin{eqnarray}
c=\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{r_1}
\end{eqnarray}
よって、平面上のベクトル\(\overrightarrow{S}\)は以下のように表せる。
\begin{eqnarray}
\overrightarrow{S}&=&t\left(\begin{array}{c}
n_z\\
0\\
-n_x
\end{array}\right)+s\left(\begin{array}{c}
0\\
n_z\\
-n_y
\end{array}\right)+\left(\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{r_1}\right)\overrightarrow{n}
\end{eqnarray}
最初の二つのベクトルは平面の傾きを表しており(原点\(O\)を通る平面)、最後のベクトルは平面を\(\overrightarrow{n}\)方向にずらすことを表している。
また、\(\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{r_1}\)の内積は\(\overrightarrow{r_1}\)が持つ\(\overrightarrow{n}\)方向の成分を表している。(内積の意味)
