問題
問1
以下のベクトルがあるとする。
\begin{eqnarray}
\vec{a}&=&
\left(\begin{array}{ccc}
0\\
1\\
1
\end{array}\right)\\
\\
\vec{b}&=&
\left(\begin{array}{ccc}
-1\\
2\\
-3
\end{array}\right)
\\
\vec{c}&=&
\left(\begin{array}{ccc}
3\\
4\\
-1
\end{array}\right)
\end{eqnarray}
この時、\(\vec{p}=\left(11,9,4\right)=s\vec{a}+t\vec{b}+u\vec{c}\)の時の\(s,t,u\)を求めよ。
【解答はこちら】
問2
あるベクトルがある。
このベクトルの大きさは2であり、x軸の正の向きとのなす角が45°、y軸の正の向きとのなす角が60°である。
この時の、ベクトルの成分表示をして、更にz軸とのなす角を求めよ。
【解答はこちら】
問3
以下の4点がある。
\begin{eqnarray}
O\left(0,0,0\right)\\
\\
A\left(1,2,3\right)\\
\\
B\left(-1,3,-2\right)\\
\\
C\left(x,12,5\right)
\end{eqnarray}
この時、点O,A,B,Cが同じ平面上にある時のxを求めよ。
【解答はこちら】
問4
2点\(A\left(0,-2,-3\right),B\left(8,4,7\right)\)を通る直線がある。
この時、点\(P\left(3,-1,4\right)\)から直線に向かって垂線\(PH\)を下ろす。
この時の点Hの座標とPHの長さを求めよ。
【解答はこちら】
問5
点\(A\left(2,-1,0\right)\)でxy平面と接する半径が3の球面がある。
この球面の方程式を求めよ。
【解答はこちら】
問6
点\(A\left(2,3,1\right)\)を通り、\(\vec{n}=(3,1,,5)\)に垂直な平面の方程式を求めよ。
【解答はこちら】
問7
点\(A\left(-1,3,-2\right),B\left(2,7,3\right)\)を通る直線の媒介変数表示を求めよ。
【解答はこちら】
解答
問1の解答 成分ごとの等式で3つの連立方程式を作る
【問題はこちら】
\(\vec{p}=\left(11,9,4\right)=s\vec{a}+t\vec{b}+u\vec{c}\)の成分ごとの関係から以下の等式を導くことができる。
\begin{eqnarray}
\left(\begin{array}{ccc}
11\\
9\\
4
\end{array}\right)=
\left(\begin{array}{ccc}
-t+3u\\
s+2t+4u\\
s-3t-u
\end{array}\right)
\end{eqnarray}
x,y,zの成分ごとの等式から3つの連立方程式を導くことができた。
この連立方程式を解くと\(s,t,u\)は以下のように求めることができる。
\begin{eqnarray}
s&=&1\\
t&=&-2\\
u&=&3
\end{eqnarray}
問2の解答 x軸、y軸、z軸のそれぞれの単位ベクトルとの内積を考える
【問題はこちら】
求めるベクトルを以下とする。
\begin{eqnarray}
\vec{a}=
\left(\begin{array}{ccc}
x’\\
y’\\
z’
\end{array}\right)
\end{eqnarray}
また、x軸、y軸、z軸のそれぞれの単位ベクトル(長さが1でそれぞれx軸、y軸、z軸と同じ方向を向いているベクトル)を以下とする。
\begin{eqnarray}
{\hat{x}}=
\left(\begin{array}{ccc}
1\\
0\\
0
\end{array}\right)\\
\\
{\hat{y}}=
\left(\begin{array}{ccc}
0\\
1\\
0
\end{array}\right)\\
\\
{\hat{z}}=
\left(\begin{array}{ccc}
0\\
0\\
1
\end{array}\right)
\end{eqnarray}
ここで\(\vec{a}\)と単位ベクトル\({\hat{x}},{\hat{y}},{\hat{z}}\)の内積を考える。
単位ベクトルを考えることでそれぞれの成分を求めることができる。
まず、\(\vec{a}\cdot{\hat{x}}\)を考える。
\begin{eqnarray}
\vec{a}\cdot{\hat{x}}&=&\left(\begin{array}{ccc}
x’\\
y’\\
z’
\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{ccc}
1\\
0\\
0
\end{array}\right)\\
\\
&=&x’
\end{eqnarray}
また、ベクトル同士のなす角から\(\vec{a}\cdot{\hat{x}}\)を求める。
\begin{eqnarray}
\vec{a}\cdot{\hat{x}}&=&|\vec{a}|\cdot|{\hat{x}}|\cos45°\\
&=&\sqrt{2}
\end{eqnarray}
よって、\(x’=\sqrt{2}\)となる。
次に\(\vec{a}\cdot{\hat{y}}\)を計算する。
\begin{eqnarray}
\vec{a}\cdot{\hat{y}}&=&\left(\begin{array}{ccc}
x’\\
y’\\
z’
\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{ccc}
0\\
1\\
0
\end{array}\right)\\
\\
&=&y’
\end{eqnarray}
また、ベクトル同士のなす角から\(\vec{a}\cdot{\hat{y}}\)を計算する。
\begin{eqnarray}
\vec{a}\cdot{\hat{y}}&=&|\vec{a}|\cdot|{\hat{y}}|\cos60°\\
&=1&
\end{eqnarray}
よって、\(y’=1\)となる。
ここで、\(|\vec{a}|^2\)を考える。
\begin{eqnarray}
|\vec{a}|^2&=&2+1+z’^2\\
&=&4
\end{eqnarray}
よって、\(z’=1\)となる。
よって、\(\vec{a}\)は以下となる。
\begin{eqnarray}
\vec{a}=
\left(\begin{array}{ccc}
\sqrt{2}\\
1\\
1
\end{array}\right)
\end{eqnarray}
また、\(\vec{a}\cdot{\hat{z}}\)を考える。
\begin{eqnarray}
\vec{a}\cdot{\hat{z}}&=&\left(\begin{array}{ccc}
\sqrt{2}\\
1\\
1
\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{ccc}
0\\
0\\
1
\end{array}\right)\\
\\
&=&1
\end{eqnarray}
また、ベクトルのなす角から内積を計算する。
\begin{eqnarray}
\vec{a}\cdot{\hat{z}}&=&|\vec{a}|\cdot|{\hat{z}}|\cosθ\\
&=&2\cosθ
\end{eqnarray}
よって、\(\cosθ=\frac{1}{2}\)なので\(θ=60°\)である。
問3の解答 同じ平面上にあるということは2つのベクトルで表すことができる
【問題はこちら】
まず、\(\vec{OA}=\vec{a},\vec{OB}=\vec{b}\)とする。
ここで、点O,A,B,Cは同じ平面上にあるので、\(\vec{OC}\)はこの平面に平行な2つのベクトルで表すことができる。
そして、この平面に平行な2つのベクトルは\(\vec{a},\vec{b}\)である。
よって、\(\vec{OC}=s\vec{a}+t\vec{b}\)のように任意の実定数s,tを使って表すことができる。
成分ごとの等式を考えると以下の様になる。
\begin{eqnarray}
\left(\begin{array}{ccc}
x\\
12\\
5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}
s-t\\
2s+3t\\
3s-2t
\end{array}\right)
\end{eqnarray}
ここで、y座標とz座標の等式に注目する。
すると、2つの等式はs,tの連立方程式になっていることが分かる。
この連立方程式を解くとs,tは以下の様になる。
\begin{eqnarray}
s=3\\
\\
t=2
\end{eqnarray}
また、x座標の等式から\(x=1\)と求めることができる。
問4の解答 2つの点を通る直線は直線に平行なベクトルを考える
【問題はこちら】
まず、2点A,Bを通る直線の方程式\(l\)を考える。
直線の方程式\(l\)は原点Oから点Aまで進み、\(\vec{AB}\)の任意の実数倍tだけ進んだベクトルが直線\(l\)上のベクトル\(\vec{OX}\)となる。
数式で表すと以下のようになる。
\begin{eqnarray}
\vec{OX}&=&\vec{OA}+t\vec{AB}\\
\\
&=&\left(\begin{array}{ccc}
0\\
-2\\
-3
\end{array}\right)+2t\left(\begin{array}{ccc}
4\\
3\\
5
\end{array}\right)\\
\\
&=&\left(\begin{array}{ccc}
0\\
-2\\
-3
\end{array}\right)+t’\vec{a}
\end{eqnarray}
ここで、\(t’=2t,\vec{a}=\left(4,3,5\right)\)とした。
すると、点Hは直線\(l\)上にあるので定数\(t_0\)を使って以下のように表すことができる。
\begin{eqnarray}
\vec{OH}=\vec{OA}+t_0\vec{a}
\end{eqnarray}
ここで、PHは直線\(l\)の垂線であることから\(\vec{a}\cdot\vec{PH}=0\)であることが分かる。
ここから、\(\vec{PH}\)を分解して考えてみる。
\begin{eqnarray}
\vec{a}\cdot\vec{PH}&=&\vec{a}\cdot\left(\vec{OH}-\vec{OP}\right)\\
\\
&=&\vec{a}\cdot\left(\vec{OA}+t_0\vec{a}-\vec{OP}\right)\\
\\
&=&\vec{a}\cdot\vec{OA}+t_0|\vec{a}|^2-\vec{a}\cdot\vec{OP}\\
\\
&=&-50+50t_0\\
\\
&=&0
\end{eqnarray}
よって、\(t_0=1\)であることが分かる。
よって、\(\vec{OH}\)は以下の様になる。
\begin{eqnarray}
\vec{OH}=\left(\begin{array}{ccc}
4\\
1\\
2
\end{array}\right)
\end{eqnarray}
また、\(\vec{PH}\)は以下の様になる。
\begin{eqnarray}
\vec{PH}=\left(\begin{array}{ccc}
1\\
2\\
-2
\end{array}\right)
\end{eqnarray}
よって、\(|\vec{PH}|=3\)であることが分かる。
問5の解答 平面に接するということは球面の中心から平面に伸ばした半径は平面と垂直である
【問題はこちら】
点ABでxy平面と接するので球面の中心は点Aからz方向に半径3だけずらした場所にある。
よって。球面の方程式は以下の2つになる。
\begin{eqnarray}
\left(x-2\right)^2+\left(y+1\right)^2+\left(z\pm3\right)=9
\end{eqnarray}
関連単元
【円の方程式】
問6の解答 \(\vec{n}\)と垂直なベクトルを考える
【問題はこちら】
まず、\(\vec{n}\)と垂直なベクトル\(\vec{k}=\left(x’,y’,z’\right)\)を考える。
すると、以下のような等式を得ることができる。
\begin{eqnarray}
\vec{n}\cdot\vec{k}&=&3x’+y’+5z’\\
&=&0\\
↓\\
z’&=&-\frac{3}{5}x’-\frac{1}{5}y’
\end{eqnarray}
よって、\(\vec{k}\)は任意の定数を\(\frac{1}{5}x’=s,\frac{1}{5}y’=t\)と置いて以下のように表すことができる。
\begin{eqnarray}
\vec{k}&=&\left(\begin{array}{ccc}
5\\
0\\
-3
\end{array}\right)s+\left(\begin{array}{ccc}
0\\
5\\
-1
\end{array}\right)t\\
\\
&=&s\vec{b}+t\vec{c}
\end{eqnarray}
ここで、\(\vec{b}=\left(\begin{array}{ccc}5\\0\\-3\end{array}\right),\vec{c}=\left(\begin{array}{ccc}0\\5\\-1\end{array}\right)\)と置いた。
また、平面は点Aを通るので原点から平面上の点Xまで進むベクトルは以下のように表せる。
\begin{eqnarray}
\vec{OX}&=&\vec{OA}+s\vec{b}+t\vec{c}\\
\\
&=&\left(\begin{array}{ccc}
5s+2\\
5t+3\\
-3s-t+1
\end{array}\right)
\end{eqnarray}
ここで、3つの成分ごとの3つの等式からs,tを削除するとx,y,zの以下のような方程式になる。
\begin{eqnarray}
3x+y+5z=14
\end{eqnarray}
問7の解答 任意の実定数tを用いる
【問題はこちら】
原点Oから点A,Bを通る直線上の点Pまで進むベクトルは実定数tを用いて以下のように表せる。
\begin{eqnarray}
\vec{OP}&=&\vec{OA}+t\vec{AB}\\
\\
&=&\left(\begin{array}{ccc}
3t-1\\
4t+3\\
5t-2
\end{array}\right)
\end{eqnarray}
