複素数の問題

問題

問1

次の計算をせよ。
$$\begin{array}{}\text{(式1.1)}& \frac{1-3i}{1+3i}+\frac{1+3i}{1-3i}\end{array}$$

問2

xは実数である時、次の値が実数であるようなxを求めよ。
$$\begin{array}{}\text{(式2.1)}& (x+2i)(2+i)\end{array}$$

問3

kを定数とする。
以下の方程式の解の種類を判別せよ。
$$\begin{array}{}\text{(式3.1)}& k{x}^2+4x+2=0\end{array}$$

問4

以下の2つの方程式が次の3つの条件を満たす時の定数mの範囲を求めよ。
$$\begin{array}{}\text{(式4.1)}& x^2+mx+1=0\text{(式4.2)}& x^2-2mx+3m=0\end{array}$$
(1)共に虚数解
(2)少なくとも一方が虚数解
(3)一方だけが虚数解
【複素数の解説はこちら】

解答

問1の解答　分母を揃える

分母を揃えて和の計算をするために、1項目の分子分母に1-3iをかけて2項目の分子分母に1+3iをかける。
$$\begin{array}{rcl}(\mathrm{式}1.1)& =& \frac{{(1-3i)}^2}{(1+3i)(1-3i)}+\frac{{(1+3i)}^2}{(1+3i)(1-3i)}\\ & =& \frac{(1-6i+9i^2)+(1+6i+9i^2)}{1-9i^2}\\ & =& -\frac{8}{5}\end{array}$$

問2の解答　実部と虚部に分ける

式2.1を展開して実部と虚部に分ける。
その後、虚部が0になるようなxを探せば良い。
まず、実部と虚部に分ける。
$$\begin{array}{rcl}(\mathrm{式}2.1)& =& 2x+xi+4i+2i^2\\ & =& 2(x-1)+(4+x)i\end{array}$$
この時、虚部が0になるようなxは-4であることが分かる。
よって、x=-4の時に式2.1は-10の値を取ることが分かる。

問3の解答　判別式を計算する

式3.1の判別式Dを計算する。
そして、判別式Dの正負から解の種類を調べる。
$$\begin{array}{rcl}D& =& 4^2-4\mathrm{・}k\mathrm{・}2\\ & =& -8k+16\\ & =& -8(k-2)\end{array}$$
この時、kの値によって判別式Dの正負が変わる。
よって、以下のようにkの値によって式3.1の解の種類が変わる。
$$\begin{array}{rcl}k& <& 2(D>0)\mathrm{の}\mathrm{時}、\mathrm{実}\mathrm{数}\mathrm{解}\mathrm{が}2\mathrm{つ}\\ k& =& 0(D=0)\mathrm{の}\mathrm{時}、\mathrm{重}\mathrm{解}\\ k& >& 2(D<0)\mathrm{の}\mathrm{時}、\mathrm{虚}\mathrm{数}\mathrm{解}\mathrm{が}2\mathrm{つ}\end{array}$$

問4の解答　2つの方程式の判別式から共通のmの範囲を調べる

最初に式4.1と式4.2の判別式Dを計算して、mの範囲によって変わる解の種類を調べる。
その後、(1)、(2)、(3)を満たすmの範囲を調べる。
まず、式4.1の解の種類によるmの範囲を調べる。
判別式Dは以下の様に計算できる。
$$\begin{array}{rcl}{m}^2-4& =& (m+2)(m-2)\end{array}$$
よって、解の種類は以下のmの範囲によって変わる。
$$\begin{array}{rcl}m<-2,2<m(D>0)\mathrm{の}\mathrm{時}& 、& \mathrm{実}\mathrm{数}\mathrm{解}\mathrm{は}2\mathrm{つ}\\ m=2,-2(D=0)\mathrm{の}\mathrm{時}& 、& \mathrm{重}\mathrm{解}\\ -2<m<2(D<0)\mathrm{の}\mathrm{時}& 、& \mathrm{虚}\mathrm{数}\mathrm{解}\mathrm{は}2\mathrm{つ}\end{array}$$

次に式4.2の判別式を計算する。
判別式Dは以下の様になる。
$$\begin{array}{rcl}D& =& {(-2m)}^2-4\mathrm{・}3m\\ & =& 4m^2-12m\\ & =& 4m(m-3)\end{array}$$
よって、解の種類は以下のmの範囲によって変わる。
$$\begin{array}{rcl}m<0,3<m(D>0)\mathrm{の}\mathrm{時}& 、& \mathrm{実}\mathrm{数}\mathrm{解}\mathrm{は}2\mathrm{つ}\\ m=0,3(D=0)\mathrm{の}\mathrm{時}& 、& \mathrm{重}\mathrm{解}\\ 0< m <3(D<0)\mathrm{の}\mathrm{時}& 、& \mathrm{虚}\mathrm{数}\mathrm{解}\mathrm{は}2\mathrm{つ}\end{array}$$

この時、式4.1と式4.2が虚数階を取る時のmの範囲は図4.1の様になる。
ここで、(1)、(2)、(3)のそれぞれの場合のmの範囲を調べる。

(1)共に虚数解

図4.1を見た時に、共にmの範囲が虚数解を取る時なのでmの範囲は以下になる。
$$0<m<2$$

(2)少なくとも一方が虚数解

図4.1を見た時にどちらか一方がmの範囲を満たしていれば良いのでmの範囲は以下になる。
$$-2<m<3$$

(3)一方だけが虚数解

図4.1を見た時にどちらか一方だけがmの範囲を満たしている時なので、mの範囲は以下になる。
$$-2<m<0\mathrm{又}\mathrm{は}2<m<3$$
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