二次方程式の解と係数の問題

問題

問1

以下の方程式の解の一つが2+3iの時、他の解と実定数pを求めよ。
$$x^2+px+13=0$$

問2

方程式x^2-px+q=0の解をα、βとする時、以下の式をp,qで表わせ。
$$\begin{array}{}\text{(式2.1)}& (1-\alpha )(1-\beta )\end{array}$$

問3

次の連立方程式を解け。
$$\begin{array}{r}x+y=2\\ x^2+y^2=10\end{array}$$

問4

解の公式を用いて以下の式を因数分解せよ。
$$\begin{array}{}\text{(式4.1)}& 2x^2-5xy+2y^2+x+y-1\end{array}$$
【二次方程式の解と係数の関係の解説はこちら】

解答

問1の解答　共役な複素数から方程式を作り展開する

複素数が二次方程式の解である時、2つの複素数の解は互いに共役な複素数である。
よって、もう一つの解は2-3iである。
方程式の解が分かったので因数を作り式を展開していく。
α=2+3i,β=2-3iとする。
$$\begin{array}{rcl}(x-\alpha )(x-\beta )& =& x^2-(\alpha +\beta )x＋\alpha \beta \\ & =& x^2-4x+13\\ & =& x^2+px+13\end{array}$$
よって、p=-4である。

問2の解答　解と係数の関係を使う

まず、式2.1を展開していく。
$$\begin{array}{rcl}(\mathrm{式}2.1)& =& 1-\alpha -\beta +\alpha \beta \\ & =& 1-(\alpha +\beta )+\alpha \beta \end{array}$$
ここで、解と係数の関係を用いると以下の様になる。
$$\begin{array}{rcl}(\mathrm{式}2.1)& =& 1+p+q\end{array}$$

問3の解答　方程式を二乗する

まず、最初の方程式の両辺を二乗する。
$$\begin{array}{r}{(x+y)}^2=x^2+y^2+2xy\\ & =& 10+2xy\\ & =& 4\end{array}$$
よって、xyは以下になる。
$$xy=-3$$
これらからxとyの関係は和を取ると2になり、積を取ると-3となる。
これらのxとyは以下になる。
$$(x,y)=(3,-1),(-1,3)$$

問4の解答　xについての二次方程式を解く

まず、式4.1が0を取る時の方程式と置く。
更に、式4.1をxについての二次方程式として見る。(yを定数とする。)
$$\begin{array}{rcl}(\mathrm{式}4.1)& =& 2x^2+(1-5y)x+2y^2+y-1\\ & =& 0\end{array}$$
ここで、xの解を求めるために解の公式を用いて求める。
$$\begin{array}{rcl}x& =& \frac{-(1-5y\pm \sqrt{{(1-5y)}^2-4\mathrm{・}2(2y^2+y-1)})}{2\mathrm{・}2}\\ & =& \frac{1}{4}(-1+5y\pm (3y+3))\\ & =& 2y-1,\frac{1}{2}y-1\end{array}$$
これでxについての解を求めることができたので、因数分解をすると以下のようになる。
$$(\mathrm{式}4.1)=(x-2y+1)(x-\frac{1}{2}+1)$$
【二次方程式の解と係数の関係の解説はこちら】