様々な集合

集合とは

集合とは明確にそれに属していると分かっているものの集まりの事を言う。

例)
1以上5未満の自然数n、という集合があるなら集合Aを使って
$$n\in A$$
と書ける。
また、別の書き方として以下の2つの書き方もある。
$$A=\{1,2,3,4\}$$
$$A=\{n|n\mathrm{は}1\mathrm{以}\mathrm{上}5\mathrm{未}\mathrm{満}\mathrm{の}\mathrm{自}\mathrm{然}\mathrm{数}\}$$

集合Aに属しているnの事を要素と言う。

また、集合Aの中に集合Bが属しているとする。
集合Bは以下とする。
$$B=\{m|m\mathrm{は}2\mathrm{以}\mathrm{上}4\mathrm{未}\mathrm{満}\mathrm{の}\mathrm{自}\mathrm{然}\mathrm{数}\}$$
この時、集合Bは集合Aの要素になり、集合Bの事を部分集合と呼ぶ。

2つ以上の集合

2つ以上の集合を説明するために以下の集合を考える。
$$A=\{n|n\mathrm{は}1\mathrm{以}\mathrm{上}8\mathrm{未}\mathrm{満}\mathrm{の}\mathrm{自}\mathrm{然}\mathrm{数}\}$$
$$B=\{m|m\mathrm{は}3\mathrm{以}\mathrm{上}11\mathrm{未}\mathrm{満}\mathrm{の}\mathrm{自}\mathrm{然}\mathrm{数}\}$$

共通集合

共通集合とは2つの集合に共通して属している要素の集合の事を呼ぶ。
集合A,Bを例とするとAとBの共通集合は
$$A\cap B=\{3,4,5,6,7\}$$
となる。
$$A\cap B$$
は集合AにもBにも属していることが分かる。

和集合

和集合とは2つ以上の集合のいずれかに属している要素の集合のことである。
集合A,Bを例とすると、
$$A\cap B=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$$
となる。
$$A\cap B$$
は集合AもしくはBに属していることが分かる。

全体集合と補集合

全体集合とは最初に集合を決めてしまう時の集合のことである。

例)
全体集合Uは以下を満たす。
$$U=\{n|n\mathrm{は}\mathrm{自}\mathrm{然}\mathrm{数}\}$$
この時、集合Aが以下を満たすとする。
$$A=\{m|m\mathrm{は}1\mathrm{以}\mathrm{上}11\mathrm{未}\mathrm{満}\mathrm{の}\mathrm{自}\mathrm{然}\mathrm{数}\}$$
この時、集合Aは全体集合Uの部分集合となる。

また、補集合とは集合の要素以外の要素を集めた集合のことである。

例)
全体集合Uは以下を満たす。
$$U=\{n|n\mathrm{は}\mathrm{自}\mathrm{然}\mathrm{数}\}$$
この時、集合Aが以下を満たすとする。
$$A=\{m|m\mathrm{は}1\mathrm{以}\mathrm{上}11\mathrm{未}\mathrm{満}\mathrm{の}\mathrm{自}\mathrm{然}\mathrm{数}\}$$
この時、集合Aの補集合は以下になる。
$$\bar{A}=\{l|l\mathrm{は}0\mathrm{未}\mathrm{満}11\mathrm{以}\mathrm{上}\mathrm{の}\mathrm{自}\mathrm{然}\mathrm{数}\}$$

ド・モルガンの法則

ド・モルガンの法則は集合間で成り立つ法則である。
ド・モルガンの法則は以下である。
$$\overline{A\cap B}=\bar{A}\cup \bar{B}$$
$$\overline{A\cup B}=\bar{A}\cap \bar{B}$$

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