問題
問1
当たりくじが4本、ハズレくじが8本ある。
この時、くじを4本引く時4本とも外れる確率を求めよ。
問2
3人の人間A,B,Cが1回じゃんけんをする。
この時、Aだけが負ける確率を求めよ。
問3
袋の中に白玉が7個、赤玉が3個入っている。
袋の中から玉を同時に6個取り出す時、白玉の数が赤玉よりも多い時の確率を求めよ。
問4
袋の中に白玉が1個、黄玉が2個、青玉が3個入っている。
袋の中から1個玉を取り出して再び元に戻すという作業を3回繰り返す。
この時、それぞれの玉の色が1個ずつ取り出す確率を求めよ。
問5
10本のくじの内数本に当たりくじがある。
この時、Aが最初にくじを引いてから、Bがくじを引く。
この時、AとBが共に当たりくじを引く確率が以下であった。
$$\frac{2}{15}$$
この時の当たりくじの本数を求めよ。
解答
問1の解答 組み合わせの計算
4本引く時に8本あるはずれくじを引く場合の数は以下で表せる。
\begin{eqnarray}
_8 C _4&=&\frac{8・7・6・5}{4・3・2・1}\\
&=&70
\end{eqnarray}
この時、くじを同時に引くので順番を考えないので順列ではなく組み合わせを考える。
また、全ての12本のくじから4本引く時の全ての場合の数は以下である。
\begin{eqnarray}
_{12} C _4&=&\frac{12・11・10・9}{4・3・2・1}\\
&=&495
\end{eqnarray}
よって、4本のくじを引く時に全てハズレのくじである確率は以下である。
\begin{eqnarray}
\frac{_8 C _4}{_{12} C _4}=\frac{14}{99}
\end{eqnarray}
問2の解答 Aだけが負ける場合の数を考える
まず、じゃんけんで起こりうる全ての場合の数を求める。
\begin{eqnarray}
3^3=27
\end{eqnarray}
A,B,Cのそれぞれの人がグー、チョキ、パーを出す可能性があるので以上の様に計算できる。
次に、Aだけが負ける場合の数を考える。
Aだけが負ける時は、Aがグーの時BとCがパーを出し、Aがパーの時BとCがチョキを出し、Aがチョキの時BとCがグーを出す3通りである。
よって、Aだけが負ける確率は以下である。
$$\frac{3}{27}=\frac{1}{9}$$
問3の解答 白玉が多い場合を全て考える
白玉が多い時の白と赤の個数を以下のようにそれぞれ列挙してみる。
$$\left(白,赤\right)=\left(4,2\right),\left(5,1\right),\left(6,0\right)$$
それぞれの場合の数について考える。
$$\left(白,赤\right)=\left(4,2\right)$$
白玉を7個の内4個選び、赤玉を3個の内2個選ぶ。
この時、玉は同時に取り出すので順序は考えないので組み合わせを考える。
\begin{eqnarray}
{}_7 C _4✕{}_3 C _2&=&\frac{7・6・5}{3・2・1}✕\frac{3・2}{2・1}\\
&=&105\tag{①}
\end{eqnarray}
$$\left(白,赤\right)=\left(5,1\right)$$
白玉を7個の内5個選び、赤玉を3個の内1個選ぶ。
この時、玉は同時に取り出すので順序は考えないので組み合わせを考える。
\begin{eqnarray}
{}_7 C _5✕{}_3 C _1&=&{}_7 C _2✕{}_3 C _1\\
&=&\frac{7・6}{2・1}✕\frac{3}{1}\\
&=&63\tag{②}
\end{eqnarray}
$$\left(白,赤\right)=\left(6,0\right)$$
白玉を7個の内6個選び、赤玉は選ばないので考えない。
この時、玉は同時に取り出すので順序は考えないので組み合わせを考える。
\begin{eqnarray}
{}_7 C _6&=&7\tag{③}
\end{eqnarray}
①、②、③ぼ場合の数は同時に起こり得ないので和を取る。
$$①+②+③=175$$
次に全体の場合の数を求める。
\begin{eqnarray}
{}_10 C _6&=&{}_10 C _4
&=&\frac{10・9・8・7}{4・3・2・1}
&=&210
\end{eqnarray}
よって、求める確率は以下である。
$$\frac{175}{210}=\frac{5}{6}$$
問4の解答 それぞれの色が出る順序を考慮する
最初に全ての場合の数を求める。
$$6^3=216$$
玉の数は全てで6個であり、取り出した後元に戻してから再び取り出すので以上の様に計算できる。
次にそれぞれ1個取り出す場合の数を求める。
それぞれ玉の数だけ場合の数があり、それらの場合の数は同時に起こりうるので積を取る。
$$1✕2✕3=6$$
更に、それぞれの色が1回目、2回目、3回目と出る順列を考えると以下になる。
$${}_3 P _3=6$$
よって、それぞれの色の玉が1個ずつ取り出す場合の数は以下である。
$$6✕6=36$$
よって、求める確率は以下である。
$$\frac{36}{216}=\frac{1}{6}$$
問5の解答 二次方程式を解く
最初に当たりくじの本数をnとする。
この時AとBが当たりくじを引く確率はnを用いるとそれぞれ以下のように表せる。
$$\frac{n}{10},\frac{n-1}{9}$$
そして、二人が共に当たりくじを引く確率はそれぞれの確率の積で計算できる。
更にその確率が2/15と決まっているので以下の等式が成り立つ。
$$\frac{n}{10}\frac{n-1}{9}=\frac{2}{15}$$
この等式を変形すると以下のようなnにおける二次方程式となる。
$$n^2-n-12=0$$
この二次方程式を解く。
因数分解をしてnを求めると以下になる。
\begin{eqnarray}
\left(n+3\right)\left(n-4\right)=0\\
n=4,-3
\end{eqnarray}
ここで、nは当たりくじの本数なので正であることが分かる。
よって、nは4である。
つまり、当たりくじの本数は4本である。
