問題
問1
以下のベクトルがあるとする。
この時、
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問2
あるベクトルがある。
このベクトルの大きさは2であり、x軸の正の向きとのなす角が45°、y軸の正の向きとのなす角が60°である。
この時の、ベクトルの成分表示をして、更にz軸とのなす角を求めよ。
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問3
以下の4点がある。
この時、点O,A,B,Cが同じ平面上にある時のxを求めよ。
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問4
2点
この時、点
この時の点Hの座標とPHの長さを求めよ。
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問5
点
この球面の方程式を求めよ。
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問6
点
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問7
点
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解答
問1の解答 成分ごとの等式で3つの連立方程式を作る
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x,y,zの成分ごとの等式から3つの連立方程式を導くことができた。
この連立方程式を解くと
問2の解答 x軸、y軸、z軸のそれぞれの単位ベクトルとの内積を考える
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求めるベクトルを以下とする。
また、x軸、y軸、z軸のそれぞれの単位ベクトル(長さが1でそれぞれx軸、y軸、z軸と同じ方向を向いているベクトル)を以下とする。
ここで
単位ベクトルを考えることでそれぞれの成分を求めることができる。
まず、
また、ベクトル同士のなす角から
よって、
次に
また、ベクトル同士のなす角から
よって、
ここで、
よって、
よって、
また、
また、ベクトルのなす角から内積を計算する。
よって、
問3の解答 同じ平面上にあるということは2つのベクトルで表すことができる
【問題はこちら】
まず、
ここで、点O,A,B,Cは同じ平面上にあるので、
そして、この平面に平行な2つのベクトルは
よって、
成分ごとの等式を考えると以下の様になる。
ここで、y座標とz座標の等式に注目する。
すると、2つの等式はs,tの連立方程式になっていることが分かる。
この連立方程式を解くとs,tは以下の様になる。
また、x座標の等式から
問4の解答 2つの点を通る直線は直線に平行なベクトルを考える
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まず、2点A,Bを通る直線の方程式
直線の方程式
数式で表すと以下のようになる。
ここで、
すると、点Hは直線
ここで、PHは直線
ここから、
よって、
よって、
また、
よって、
問5の解答 平面に接するということは球面の中心から平面に伸ばした半径は平面と垂直である
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点ABでxy平面と接するので球面の中心は点Aからz方向に半径3だけずらした場所にある。
よって。球面の方程式は以下の2つになる。
関連単元
【円の方程式】
問6の解答 と垂直なベクトルを考える
【問題はこちら】
まず、
すると、以下のような等式を得ることができる。
よって、
ここで、
また、平面は点Aを通るので原点から平面上の点Xまで進むベクトルは以下のように表せる。
ここで、3つの成分ごとの3つの等式からs,tを削除するとx,y,zの以下のような方程式になる。
問7の解答 任意の実定数tを用いる
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原点Oから点A,Bを通る直線上の点Pまで進むベクトルは実定数tを用いて以下のように表せる。